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RECHERCHES

les $\alpha -1$ autres équations de degré $\beta$, dont les racines sont respectivement les $\beta$ différentes périodes de $b$ termes contenues dans les autres périodes de $a$ termes $(a,g)$, $(a,g^{2})$, etc., et de chercher par la résolution les racines de l’équation (B) et de ces différentes équations. Mais alors il faudra, comme plus haut, décider à l’aide de la table de sinus, à quelles périodes de $b$ termes doivent être égalées les racines qui en résultent. Au reste, il existe encore pour cette détermination différens autres artifices, que nous ne pouvons pas expliquer ici complètement. On pourra seulement dans les exemples suivans, remarquer un de ces procédés, pour le cas où $\beta =2$, qui est le plus utile, et qui sera mieux connu par des exemples que par des préceptes.

Quand on aura trouvé de cette manière les valeurs de $\alpha \beta$ périodes de $b$ termes, on déterminera de même par des équations de degré $\gamma$ les $\alpha \beta \gamma$ périodes de $c$ termes, et cela par deux procédés : 1^o. en formant (n^o 350) une équation du degré $\gamma$ dont les racines soient les $\gamma$ périodes de $c$ termes qui composent $(b,1)$, cherchant une des racines de cette équation, l’égalant à $(c,1)$, et déduisant de là (n^o 346) toutes les autres périodes semblables ; 2^o. en formant les $\alpha \beta$ équations de degré $\gamma$, dont les racines sont respectivement les $\gamma$ périodes de $c$ termes qui sont contenues dans les différentes périodes de $b$ termes, résolvant toutes ces différentes équations, et déterminant l’ordre des racines, comme plus haut, par les tables de sinus, ou comme dans les exemples suivans, si $\gamma =2$.

En continuant de cette manière, on parviendra enfin nécessairement à connaître les ${\frac {n-1}{\zeta }}$ périodes de $\zeta$ termes. Cherchant donc par le n^o 348, l’équation de degré $\zeta$ qui donne le $\zeta$ racines de $\Omega$ contenues dans $(\zeta ,1)$, les coefficiens de cette équation seront des quantités connues ; et si l’on tire une seule racine par la résolution, en faisant cette racine $=[1]$, ses puissances donneront toutes les racines $\Omega$. Si on le préfère, on peut chercher toutes les racines de cette équation, et la résolution de ${\frac {n-1}{\zeta }}-1$ autres équations semblables, donnera toutes les racines $\Omega$.

Au reste, il est clair que dès qu’on a résolu l’équation $(A)$, c’est-à-dire, dès qu’on a les valeurs des $\alpha$ périodes de $a$ termes,