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RECHERCHES

Désignons-les par $q$, $q'$, $q''$ respectivement, on aura

${\begin{array}{rlcl}q+q'+q''&=&(6,1),\\qq'+qq''+q'q''&=&(6,1)\,&+(6,4),\\qq'q''&=&2&+(6,2).\end{array}}$

donc en conservant la notation de l’exemple précédent, l’équation cherchée sera

$x^{3}-px^{2}+(p+p'')x-2-p'=0$.

L’équation dont les racines sont les sommes $(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$ contenues dans $(6,2)$, se déduit de la précédente, en substituant $p'$, $p''$, $p$ pour $p$, $p'$, $p''$ respectivement ; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l’équation dont les racines sont les sommes $(2,4)$, $(2,6)$, $(2,9)$ contenues dans $(6,4)$.

352. Les théorèmes précédens, avec leurs corollaires, contiennent les bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver les racines $\Omega$ peut s’exposer maintenant en peu de mots.

On doit, avant tout, prendre un nombre $g$ qui soit racine primitive pour le module $n$, et trouver les résidus minima des puissances de $g$ jusqu’à $g^{n-2}$. On décomposera $n-1$ en facteurs, et même en facteurs premiers, si l’on veut réduire le problème à des équations du degré le plus simple possible. Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,……$\zeta$ les facteurs de $n-1$, et soit fait

${\frac {n-1}{\alpha }}=\beta \gamma ......\zeta =a$,————${\frac {n-1}{\alpha \beta }}=\gamma ......\zeta =b$, etc.

On distribuera les racines $\Omega$ en $\alpha$ périodes de $a$ termes ; chacune de celles-ci en $\beta$ périodes de $b$ termes ; chacune de ces dernières en $\gamma$ périodes, etc. On cherchera, par le n^o 350, l’équation (A) de degré $\alpha$ qui aura pour racines ces $\alpha$ sommes de $a$ termes, sommes dont on connaîtra les valeurs par la résolution de cette équation.

Mais il se présente ici une difficulté ; car on ne voit pas à quelles périodes on doit égaler chaque racine de l’équation $(A)$, c’est-à-dire, quelle est la racine qui doit être représentée par $(a,1)$, quelle est celle qui doit être représentée par $(a,g)$, etc. On remédiera à cet inconvénient de la manière suivante. On peut désigner par $(a,1)$, une racine quelconque de l’équation $(A)$ ; en effet, comme une racine quelconque de l’équation $(A)$ est la somme de $a$ racines $\Omega$, et qu’il est absolument indifférent que