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ARITHMÉTIQUES
S’il y a un troisième nombre , soit le plus grand diviseur
commun de et de , il sera en même temps celui des trois
nombres , , ,[1]. On déterminera les nombres et de manière qu’on ait , et l’on aura .
S’il y a un quatrième nombre soit le plus grand diviseur
commun de et de , il sera en même temps celui des quatre
nombres , , , . On fera , et partant on aura
.
On procéderait de la même manière s’il y avait plus de nombres.
Si les nombres , , , etc. n’avaient pas de diviseur commun,
il est clair qu’on aurait .
41. Si est un nombre premier, et qu’on ait choses parmi lesquelles il peut s’en trouver un certain nombre d’égales entr’elles, pourvu que toutes ne le soient pas : le nombre des permutations de ces choses sera divisible par
Par exemple, cinq choses peuvent se disposer de
dix manières différentes.
La démonstration de ce théorème se déduit facilement de la
théorie connue des permutations. En effet, supposons que, parmi ces
choses, il y en ait égales à , égales à , égales à , etc.,
desorte qu’on ait , les nombres , , etc.
pouvant aussi désigner l’unité. Le nombre des permutations sera
; or le numérateur est évidemment divisible par le dénominateur, puisque le nombre des permutations
est entier ; mais il est divisible par , tandis que le dénominateur, qui est composé de facteurs plus petits que , n’est pas divisible par (no 15) ; donc le nombre des permutations sera divisible par .
Nous espérons cependant que la démonstration suivante ne déplaira pas à quelques lecteurs.
- ↑ En effet si n’était pas le plus grand commun diviseur de , , , il y
en aurait un plus grand que . Or celui-ci divisera et , partant il divisera
ou , ce qui est absurde.
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