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ARITHMÉTIQUES

S’il y a un troisième nombre $C$, soit $\lambda '$ le plus grand diviseur commun de $\lambda$ et de $C$, il sera en même temps celui des trois nombres $A$, $B$, $C$,^[1]. On déterminera les nombres $k$ et $\gamma$ de manière qu’on ait $k\lambda +\gamma C=\lambda '$, et l’on aura $k\alpha A\lambda +k\beta B+\gamma C=\lambda '$.

S’il y a un quatrième nombre $D$ soit $\lambda ''$ le plus grand diviseur commun de $\lambda '$ et de $D$, il sera en même temps celui des quatre nombres $A$, $B$, $C$, $D$. On fera $k'\lambda '+\delta D=\lambda ''$, et partant on aura $k'k\alpha A+k'k\beta B+k''\gamma +\delta D=\lambda ''$.

On procéderait de la même manière s’il y avait plus de nombres.

Si les nombres $A$, $B$, $C$, etc. n’avaient pas de diviseur commun, il est clair qu’on aurait $aA+bB+cC+\ {\text{etc}}.\ =\ 1$.

41. Si $\mathrm {p}$ est un nombre premier, et qu’on ait $\mathrm {p}$ choses parmi lesquelles il peut s’en trouver un certain nombre d’égales entr’elles, pourvu que toutes ne le soient pas : le nombre des permutations de ces choses sera divisible par $\mathrm {p} .$

Par exemple, cinq choses $A,\ A,\ A,\ B,\ B$ peuvent se disposer de dix manières différentes.

La démonstration de ce théorème se déduit facilement de la théorie connue des permutations. En effet, supposons que, parmi ces $p$ choses, il y en ait $a$ égales à $A$, $b$ égales à $B$, $c$ égales à $C$, etc., desorte qu’on ait $a+b+c+\ {\text{etc}}.=p$, les nombres $a$, $b$, $c$ etc. pouvant aussi désigner l’unité. Le nombre des permutations sera ${\frac {1.2.3...p}{1.2...a.1.2...b.1.2...c.\ {\text{etc}}.}}$ ; or le numérateur est évidemment divisible par le dénominateur, puisque le nombre des permutations est entier ; mais il est divisible par $p$, tandis que le dénominateur, qui est composé de facteurs plus petits que $p$, n’est pas divisible par $p$ (n^o 15) ; donc le nombre des permutations sera divisible par $p$.

Nous espérons cependant que la démonstration suivante ne déplaira pas à quelques lecteurs.

1. En effet si $\lambda '$ n’était pas le plus grand commun diviseur de $A$, $B$, $C$, il y en aurait un plus grand que $\lambda '$. Or celui-ci divisera $A$ et $B$, partant il divisera $\alpha A+\beta B$ ou $\lambda$, ce qui est absurde.

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