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ARITHMÉTIQUES.

dans une fonction invariable ; donc $W'$ et $W$ seront identiques, et partant $[p]$ et $[q]$ auront même coefficient dans $W$.

Il suit évidemment de là que $W$ peut être ramené sous la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1})\,:$

les coefficiens $A$, $a,\,a',\,{\text{etc.}}$ seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de $F$ sont rationnels et entiers.

Ainsi, par exemple, si $n=19$, $f=6$ et $\lambda =1,$ et que la fonction $\varphi$ désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à

$3+(6,1)+(6,4).$

De plus, il est facile de voir que si l’on substitue ensuite pour $t,\,u,\,v,\,{\text{etc.}}$ les racines d’une autre période $(f,k\lambda ),$ la valeur de $F$ devient

$A+a(f,k)+a'(f,kg)+a''(f,kg^{2}),\,{\text{etc.}}$

348. Comme dans toute équation

$x^{f}-\alpha x^{f-1}+\beta x^{f-2}-\gamma x^{f-3}+\,{\text{etc}}.\,=0$

les coefficiens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, $\alpha$ la somme, $\beta$ la somme des produits des racines prises deux à deux, $\gamma$ la somme des produits trois à trois, etc. ; il en résulte que dans l’équation qui donne les racines contenues dans la période $(f,\lambda )$, le premier coefficient sera $(f,\lambda )$, et chacun des autres pourra être ramené à la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc}}.\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1}),$

où $A$, $a$, $a'$, etc. sont des entiers. D’ailleurs il est clair que l’équation qui donnerait les racines que contient toute autre période $(f,\lambda k)$ se déduirait de celle-là, si dans chacun des coefficiens on substituait $(f,k)$ pour $(f,1)$, $(f,kg)$ pour $(f,g)$, et généralement $(f,kp)$ pour $(f,p)$. On pourra donc de cette manière assigner un nombre $e$ d’équations

$z=0,\qquad z'=0,\qquad z''=0,\qquad {\text{etc.}}$

qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes

$(f,1),\qquad (f,g),\qquad (f,g^{2}),\qquad {\text{etc.}}$