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ARITHMÉTIQUES.
Si donc est une autre racine primitive, les racines ,
…… coïncideront ainsi avec les racines , ,…, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve
facilement que si est un diviseur de , et qu’on pose
, , , les nombres
,
——,
——.....
——
sont congrus, suivant le module , à ceux-ci :
,
——,
——.....
——
sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet , et soit un nombre quelconque positif et , et le résidu
minimum de , on aura , donc
——ou
——
c’est-à-dire que tout nombre de la première suite , , , etc. est congru à un de ceux de la seconde , , , etc., et réciproquement.
Il suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines
,
-,
-.....
- —et
— ,
-,
-.....
-
ou plus généralement entre les racines
,
, , ,…
—et
— ,
,
,…
.
Nous désignerons par la somme de semblables racines, telle que
, etc.
et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de , et l’ensemble de ces racines s’appellera période , dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines[1].
Pour présenter une pareille période, il sera convenable de
réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple
expression, en remplaçant les nombres , , , etc. par leurs
- ↑ Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de valeur numérique de la période, ou même celui de période, lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité à craindre.