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ARITHMÉTIQUES.

Si donc $G$ est une autre racine primitive, les racines $[1]$, $[g]$……$[g^{n-2}]$ coïncideront ainsi avec les racines $[1]$, $[G]$,…$[G^{n-2}]$, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve facilement que si $e$ est un diviseur de $n-1$, et qu’on pose $n-1=ef$, $g^{e}=h$, $G^{e}=H$, les $f$ nombres

$[1]$,——$[h]$, ——$[h^{2}]$.....——$[h^{f-1}],$

sont congrus, suivant le module $n$, à ceux-ci :

$[1]$,——$[H]$, ——$[H^{2}]$.....——$[H^{f-1}],$

sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet $G\equiv g^{\omega }{\pmod {n}}$, et soit $\mu$ un nombre quelconque positif et $<f$, et $\nu$ le résidu minimum de $\mu \omega {\pmod {f}}$, on aura $\nu e\equiv \mu \omega e{\pmod {n-1}}$, donc

$g^{\nu e}\equiv g^{\mu \omega e}\equiv g^{\mu e}{\pmod {n}}$——ou——$H^{\mu }\equiv h^{\mu },$

c’est-à-dire que tout nombre de la première suite $1$, $h$, $h^{2}$, etc. est congru à un de ceux de la seconde $1$, $H$, $H^{2}$, etc., et réciproquement.

Il suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines

$[1]$,-$[h]$, -$[h^{2}]$.....-$[h^{f-1}]$ —et— $[1]$,-$[H]$, -$[H^{2}]$.....-$[H^{f-1}],$

ou plus généralement entre les racines

$[\lambda ]$, $[\lambda h]$, $[\lambda h^{2}]$, ,… $[\lambda h^{f-1}]$ —et— $[\lambda ]$, $[\lambda H]$, $[\lambda H^{2}]$,… $[\lambda H^{f-1}]$.

Nous désignerons par $(f,\lambda )$ la somme de semblables racines, telle que

$[\lambda ]+[\lambda h]+[\lambda h^{2}]+$, etc. $+[\lambda h^{f-1}]\,;$

et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour $g$ une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de $g$, et l’ensemble de ces racines s’appellera période $(f,\lambda )$, dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines^[1].

Pour présenter une pareille période, il sera convenable de réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple expression, en remplaçant les nombres $\lambda$, $\lambda h$, $\lambda h^{2}$, etc. par leurs

1. Nous pourrons dorénavant donner à la somme le nom de valeur numérique de la période, ou même celui de période, lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité à craindre.