3o . Quand (χ) et (p) coïncident, ou du moins renferment des racines communes, on prouvera de la même manière, que tous les coefficiens de ne peuvent pas être rationnels ; or ils le seraient nécessairement si ceux de l’étaient ; donc cette dernière supposition est impossible.
4o . Si enfin il n’y a aucune racine commune ni à (π) et (ϱ), ni à (χ) et (σ), toutes les racines (π) coïncideront nécessairement avec les racines (σ), et les racines (χ) avec les racines (ϱ), et partant on aura , ; donc
d’où résulte, en faisant
Or si tous les coefficiens de étaient rationnels, ils seraient entiers (no 42), partant ceux de le seraient aussi ; donc , qui
devrait diviser l’unité, dernier terme de , ne pourrait être que , et il s’ensuivrait que serait un quarré, ce qui est absurde, puisque est un nombre premier.
Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l’on décompose en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d’entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le premier degré.
342. Le but de nos recherches, qu’il n’est pas inutile d’annoncer ici en peu de mots, est de décomposer graduellement en un nombre de facteurs de plus en plus grand, et cela de manière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déterminés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu’à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines Ω. Nous ferons voir que si l’on décompose le nombre en facteurs entiers quelconques , , , etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers), est décomposable en facteurs du degré , dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré ; que chacun de ces facteurs est décomposable en facteurs du degré , à l’aide d’une équation de
