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RECHERCHES

$n-1$ puissances, des racines (π), et $p,$ $p',$ $p'',$ … $p^{\nu }$ les valeurs de $P,$ $P',$ $P''$ … $P^{\nu }$ respectivement, quand on y fait $x=1\,:$ par ce qui a été dit précédemment $p,$ $p'\dots$ $p^{\nu }$ seront des quantités réelles et positives. Or $p$ est la valeur qu’obtient la fonction

(1-t)(1-u)(1-v)\,{\text{etc.}}

quand on y substitue pour $t$ , $u,$ $v,$ etc. les racines (π) ; $p'$ est la valeur de cette même fonction, quand on substitue pour $t,$ $u,$ $v,$ etc. les quarrés de ces mêmes racines ; et d’ailleurs la valeur qui résulte de la supposition $t=1,$ $u=1,$ $v=1,$ etc., est évidemment $=0\,;$ donc la somme $p+p'+p''+{\text{etc.}}+p^{\nu }$ sera entière et divisible par $n\,:$ en outre on voit facilement que le produit $PP'P''\dots =X^{\lambda },$ et partant $pp'p''\dots =n^{\lambda }.$

Maintenant si tous les coefficiens de $P$ étaient rationnels, tous ceux de $P',$ $P'',$ etc. le seraient aussi, par le n^o 338, et par le n^o 42, ils seraient tous entiers ; donc $p,$ $p',$ $p'',$ etc. le seraient ; comme d’ailleurs le produit de ces derniers nombres est $n^{\lambda },$ et que leur nombre est $n-1>\lambda ,$ plusieurs d’entre eux devraient être égaux à $1,$ et les autres seraient égaux à $n,$ ou à une puissance de $n.$ Si donc il y en a $g$ qui soient égaux à $1,$ on aura

p+p'+p''+\,{\text{etc}}.\,\equiv g{\pmod {n}},

et partant non-divisible par $n.$ Donc la supposition ne peut subsister.

2^o . Quand (π) et (ϱ) ne coïncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes, soit (τ) l’ensemble de ces racines, et $T=0$ l’équation qui les donnerait ; il suit de la théorie des équations que $T$ sera le plus grand commun diviseur des fonctions $P$ et $R.$ Or il est évident que les racines comprises dans (τ) sont réciproques deux à deux, d’où l’on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de $T$ ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessairement si tous les coefficiens de $P$ et partant ceux de $R$ étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l’opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun ; donc cette supposition est absurde.