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ARITHMÉTIQUES.

$\varphi (1,1,1,...)=\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=A+A'+A''...+A^{\nu },$

et que

$\varphi (a,b,c)+\varphi (a^{2},b^{2},c^{2})+\ {\text{etc}}.\ +\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=nA.$

Ainsi cette somme est toujours divisible par $n$ quand tous les coefficiens déterminés (tels que $h$), dans $\varphi (t,u,v)$ sont des nombres entiers.

341. Théorème. Si la fonction $\mathrm {X}$ (n^o 339) est divisible par une fonction d’un degré inférieur

$\mathrm {P=x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+Bx^{\lambda -2}+\,{\text{etc.}}\,+Kx+L} ,$

les coefficiens $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,\dots$ $\mathrm {L}$ ne peuvent pas être tous entiers ni rationnels.

Soit $X=PQ$, (π) l’ensemble des racines de l’équation $P=0$, (χ) l’ensemble des racines de l’équation $Q=0$, ensorte que Ω soit composé de (π) et de (χ) ; soit encore (ϱ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (π), et (σ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (χ), et supposons que les racines contenues dans (ϱ) soient données par l’équation $R=0$, qui sera évidemment

$x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\ {\text{etc}}.\ +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}=0,$

tandis que les racines contenues dans (σ) seront données par l’équation $S=0$. Il est manifeste que les racines (ϱ) et (σ) prises ensemble composent Ω, et qu’ainsi l’on aura $RS=X$. Cela posé, nous avons quatre cas à distinguer :

1^o . Quand (π) coïncide avec (ϱ) et qu’on a parconséquent $P=R$. Dans ce cas les racines (π) seront réciproques deux à deux, et parconséquent $P$ est le produit de ${\frac {1}{2}}\lambda$ facteurs doubles tels que

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1=(x-\cos \omega )^{2}+\sin ^{2}\omega ,$

d’où il suit que quel que soit $x$, pourvu qu’il soit réel, $P$ obtiendra une valeur réelle positive. Soient

$P'=0,\quad P''=0,\quad P'''=0,\dots P^{\nu }=0$

les équations qui donnent les quarrés, cubes, biquarrés, etc.,