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RECHERCHES

plus généralement $r^{e}$, $r^{-e}$, et il est clair que le produit des deux facteurs simples $x-r$ et $x-{\frac {1}{r}}$ est

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1$,

l’angle $\omega$ étant $={\frac {P}{n}}$, ou à un de ses multiples.

340. Ainsi, comme en représentant une racine de $X=0$ par $r$, toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont exprimées par les différentes puissances de $r$, le produit de plusieurs d’entre ces racines pourra être exprimé par $r^{\lambda }$, de quelque manière qu’il soit composé, $\lambda$ étant $=0$, ou positif et $<n$ ; et si l’on désigne par $\varphi (t,u,v...)$ une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., dont les différens termes soient de la forme $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma },$ etc., il est évident, qu’en prenant pour $t$, $u$, $v$, etc. quelques-unes des racines de l’équation $x^{n}-1=0$, par exemple, $t=a$, $u=b$, $v=c$, etc .; $\varphi (t,u,v...)$ pourra être mise sous la forme

$A+A'r+A''r^{2}+A'''r^{3}+......+A^{\nu }r^{n-1}\,;$

de manière que les coefficiens $A$, $A'$, etc. (dont quelques-uns peuvent être = 0), soient des quantités déterminées ; et tous ces coefficiens seront entiers, si tous ceux qui sont représentés indéfiniment par $h$ sont des nombres entiers. Si ensuite l’on substitue $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$… pour $t$, $u$, $v$… respectivement, le terme tel que $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma }$… qui se réduisait à $r^{\lambda }$, se réduira par la nouvelle substitution, à $r^{2\lambda }$, desorte que l’on aura

$\varphi (a^{2},b^{2},c^{2}...)=A+A'r^{2}+A''r^{4}+A'''r{6}+......+A^{\nu }r^{2n-2}.$

On aura de même en général, $\mu$ étant un nombre entier quelconque

$\varphi (a^{\mu },b^{\mu },c^{\mu }...)=A+A'r^{\mu }+A''r^{2\mu }+A'''r^{3\mu }+...+A^{\nu }r^{(n-1)\mu },$

proposition extrêmement importante, et qui sert de base aux recherches que nous allons faire.

Il suit de là que