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ARITHMÉTIQUES.
d’où par le procédé inverse tiré du même théorème, on pourra
déduire les coefficiens de l’équation (W’). On voit en même temps
que si les coefficiens de l’équation (W) sont tous rationnels, ceux
de l’équation (W’) le seront aussi ; on pourrait même prouver par
une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le seront ; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous
ne nous y arrêterons pas ici.
339. L’équation
(en supposant, comme il faut toujours le faire par la suite, que
est un nombre premier impair),
ne renferme qu’une seule racine réelle
; les
autres,
qui sont donnés par l’équation
![{\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\,{\text{etc.}}\,+x+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6cf7c57d322abfacfc672096077b12ffafe516)
…………(X)
sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l’ensemble par
. Si
donc
est une racine quelconque de
, on aura
![{\displaystyle 1=r^{2}=r^{2n}=\,{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a65e29a445070469fff946e0e40c61c29b683ce)
et généralement
![{\displaystyle \,1=r^{en}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b549a63d19996d3b0b8d71bd52df17a384494589)
pour toute valeur entière de
, soit positive, soit négative. D’où l’on voit que si
et
, sont des nombres entiers congrus suivant
, on aura
; mais si
et
sont incongrus suivant le module
,
et
seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier
, tel qu’on ait
![{\displaystyle (\lambda -\mu )\nu \equiv 1{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33666a50743a2d257f405a4ae4215cfb765e6604)
et partant,
![{\displaystyle r^{(\lambda -\mu )\nu }=r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e68a4a507d56f32033157dc53c65b66201cf66)
;
donc
ne sera certainement pas
: or il est clair que
toute puissance de
est racine de l’équation
; parconséquent comme toutes les quantités
,
,
,
,…
sont différentes, elles représentent toutes les racines de l’équation
, et
,
…
coïncident avec les racines
On conclut facilement de là que
coïncide avec
,
,
…
,
étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non-divisible par
. On aura parconséquent
![{\displaystyle X=(x-r^{e})(x-r^{2e})(x-r^{3e})+\ldots \ldots +(x-r^{(n-1)e})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03669155034fceeee4f9862799d5eaecc9129bed)
;
d’où........
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et.............
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Nous appellerons réciproques deux racines telles que
et
, ou
I i i