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ARITHMÉTIQUES.

d’où par le procédé inverse tiré du même théorème, on pourra déduire les coefficiens de l’équation (W’). On voit en même temps que si les coefficiens de l’équation (W) sont tous rationnels, ceux de l’équation (W’) le seront aussi ; on pourrait même prouver par une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le seront ; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arrêterons pas ici.

339. L’équation $x^{n}-1=0$ (en supposant, comme il faut toujours le faire par la suite, que $n$ est un nombre premier impair), ne renferme qu’une seule racine réelle $x=1$ ; les $n-1$ autres, qui sont donnés par l’équation

$x^{n-1}+x^{n-2}+\,{\text{etc.}}\,+x+1=0,$…………(X)

sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l’ensemble par $\Omega$. Si donc $r$ est une racine quelconque de $X=0$, on aura

$1=r^{2}=r^{2n}=\,{\text{etc.}},$ et généralement $\,1=r^{en}$

pour toute valeur entière de $e$, soit positive, soit négative. D’où l’on voit que si $\lambda$ et $\mu$, sont des nombres entiers congrus suivant $n$, on aura $r^{\lambda }=r^{\mu }$ ; mais si $\lambda$ et $\mu$ sont incongrus suivant le module $n$, $r^{\lambda }$ et $r^{\mu }$ seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier $\nu$, tel qu’on ait

$(\lambda -\mu )\nu \equiv 1{\pmod {n}}$ et partant, $r^{(\lambda -\mu )\nu }=r$ ;

donc $r^{\lambda -\mu }$ ne sera certainement pas $=1$ : or il est clair que toute puissance de $r$ est racine de l’équation $x^{n}-1=0$ ; parconséquent comme toutes les quantités $1=r^{0}$, $r$, $r^{2}$, $r^{3}$,…$r^{n-1}$ sont différentes, elles représentent toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$, et $r$, $r^{2}$…$r^{n-1}$ coïncident avec les racines $\Omega .$ On conclut facilement de là que $\Omega$ coïncide avec $r^{e}$, $r^{2e}$, $r^{3e}$… $r^{(n-1)e}$, $e$ étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non-divisible par $n$. On aura parconséquent

$X=(x-r^{e})(x-r^{2e})(x-r^{3e})+\ldots \ldots +(x-r^{(n-1)e})$ ;

d’où........	$r^{e}+r^{2e}+\ r^{3e}+\ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=-1\,;$
et.............	$1+r^{e}+r^{2e}+\ldots \ldots \ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=0.$

Nous appellerons réciproques deux racines telles que $r$ et ${\frac {1}{r}}$, ou

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