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ARITHMÉTIQUES.
qui ne peuvent se réduire en aucune manière, si
est un nombre
premier.
Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone
de
côtés peut être construit géométriquement ; mais pour déterminer le polygone de
côtés, on ne peut éviter d’aucune
manière l’équation du dix-septième degré.
337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques
des angles
,
désignant indéfiniment les nombres
,
,
, …
,
sont les racines d’une équation du degré
; ces équations sont :
pour les sinus,—
![{\displaystyle -{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f033095db4243305996eb4ff2b46393c7f207b)
+ etc.
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
….(I)
pour les-cosinus,—
![{\displaystyle +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6ef363cd19902d1a7a71fb1c8b21e8ede52406)
etc.
![{\displaystyle ={\frac {1}{2^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8a5d9c593e90679f52afcf4becaad1396d2e34)
…(II)
pour les-tangentes,—
Ces équations, qui sont toutes vraies quand
est impair (la seconde l’est même quand
est pair), se réduisent facilement au
degré
, en faisant
, savoir, pour la première et la
troisième, en divisant par
et posant ensuite
; quant à
la seconde, elle renferme nécessairement la racine
,
et les autres sont égales deux à deux,
,
, etc. Donc l’équation est divisible par
et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l’équation
devient
![{\displaystyle \textstyle +{\frac {1}{32}}{\frac {(m-1)(m-4)}{1.2}}x^{m-5}-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5771c6ce313a17682e2843367b636822c2f634a)
etc.
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
,
dont les racines sont les cosinus des angles
,
,
, …
.
On ne connaissait pas jusqu’à présent de réductions ultérieures
de ces équations, même pour le cas où
est un nombre premier.