Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/448

Cette page a été validée par deux contributeurs.

426

RECHERCHES

nateur $n$ est premier avec $M$ , il n’est pas nécessaire, pour parvenir à notre but, de trouver ces valeurs ; car le plus grand commun diviseur du nombre $M$ et de la différence $R-R'$ , $R$ et $R'$ correspondant à ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$ , sera évidemment le plus grand commun diviseur des nombres $M$ et $nn'(R-R')$ , ou des nombres $M$ et $mn'-m'n$ , puisque ce dernier est congru à $nn'(R-R')$ suivant le module $M$ .

334. L’application des observations précédentes au problème dont il s’agit, peut se faire de deux manières ; la première non-seulement décide si le nombre proposé $M$ est premier ou composé, mais encore donne dans le dernier cas les facteurs eux-mêmes ; la seconde a l’avantage de l’emporter le plus souvent par la brièveté des calculs, mais quelquefois elle ne donne pas les facteurs des nombres composés, à moins qu’on ne la répète plusieurs fois ; au reste elle distingue avec autant de facilité que la première, les nombres premiers des nombres composés.

I. On cherchera un nombre négatif $-D$ qui soit résidu quadratique de $M$ , et l’on peut employer à cette recherche les méthodes exposées n^o 332,1 et II. Il est indifférent en soi de prendre tel ou tel résidu, et il n’est pas nécessaire, comme dans la solution précédente, que $D$ soit un petit nombre ; mais comme le calcul deviendra d’autant plus simple, qu’il y aura moins de classes de formes binaires, dans chaque genre proprement primitif de déterminant $-D$ , on trouvera de l’avantage à choisir, s’il est possible, un des soixante-cinq nombres cités au n^o 305. Ainsi pour $M=997331$ , parmi tous les résidus déterminés plus haut, le plus avantageux est $-102$ . On cherchera toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ , et s’il n’y en a que deux qui soient opposées, $M$ sera certainement un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier ; s’il y en a un plus grand nombre, $2^{\mu }$ , par exemple, $M$ sera composé de $\mu$ facteurs qui sont des nombres premiers, ou des puissances de nombres premiers. Or il sera extrêmement facile de reconnaître si ces nombres sont premiers, ou des puissances de nombres premiers, et dans ce dernier cas, la méthode par laquelle on trouve les valeurs de ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ indique d’elle-même tous les nombres premiers dont une