Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/445

423

ARITHMÉTIQUES.

$(a'',b'',c''),$ etc. soient des formes de sa période, qui sont parconséquent équivalentes à $(a,b,a')$ et du même genre qu’elle, les nombres $aa',$ $aa'',$ $aa''',$ etc. sont tous résidus de $M$. On calcule avec facilité un grand nombre de formes d’une pareille période, à l’aide de l’algorithme du n^o 187. On obtient ordinairement les résidus les plus simples en faisant $a=1$ ; on rejettera ceux qui seraient composés de trop grands facteurs.

Nous joignons le commencement des périodes des formes

${\begin{array}{lrrrclrrr}(&1,&998,&-1327)&\,et\,&(&1,&1412,&-918)\\\end{array}}$

dont les déterminans sont $997331$ et $1994662$ respectivement ; c’est-à-dire, $M$ et $2M$ :

${\begin{array}{lrrrclrrr}(&1,&998,&-1327)&\,&(&1,&1412,&-918)\\(&-1327,&329,&670)&\,&(&-918,&1342,&211)\\(&670,&341,&-1315)&\,&(&211,&1401,&-151)\\(&-1315,&974,&37)&\,&(&-151,&1317,&1723)\\(&37,&987,&-626)&\,&(&1723,&406,&-1062)\\(&-626,&891,&325)&\,&(&-1062,&656,&1473)\\(&325,&734,&-1411)&\,&(&1473,&817,&-901)\\(&-1411,&677,&382)&\,&(&-901,&985,&1137)\\(&382,&851,&-715)&\,&&&etc.&\\\end{array}}$

Ainsi tous les nombres : $-1327$, $670$, etc. sont des résidus de $997331$ ; et en négligeant ceux qui renferment de trop grands facteurs, il reste les suivans :

$2.5.67,37,13,-17.83,-5.11.13,-2.3.17,-2.59,-17.53$

Nous avions déjà trouvé le résidu $2.5.67$, ainsi que $-5.11$, qui résulte de la combinaison du troisième et du cinquième.

III. Si $C$ est une classe quelconque de déterminant négatif $-M$ ou $-kM$ différente de la classe principale, et que sa période (n^o 307) soit $C^{2}$, $C^{3}$, etc. ; les classes $C^{2}$, $C^{4}$, etc. appartiendront au genre principal, et les classes $C^{3}$, $C^{5}$, etc. appartiendront au même genre que $C$. Si donc $(a,b,c)$ est la forme la plus simple de $C$ et $(a',b',c')$ une forme d’une classe de cette période, de $C^{n}$, par exemple, on aura $a'RM$, ou $aa'RM$, suivant que $n$ sera pair ou impair ; $c',$ dans le premier cas, $ac'$, $a'c$ et $cc'$, dans