représenté par aucune de ces formes, alors serait certainement non-résidu quadratique de
Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations suivantes, qui sont essentielles.
1o. Les représentations du nombre par les formes , etc. que nous employons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées , s’il s’en présente d’autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur (ce qui ne peut arriver que lorsque divise et qui arrivera nécessairement si elles doivent être négligées dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent être utiles.
2o. Toutes choses d’ailleurs égales, le travail sera évidemment d’autant plus facile, que le nombre des classes etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand est un des soixante-cinq nombres consignés au no 303, pour lesquels il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre.
3o. Puisqu’il y a toujours deux de ces représentations, qui appartiennent à la même valeur, on voit qu’il suffit de considérer celles dans lesquelles est positif ; et de cette manière les représentations différentes correspondent à des valeurs différentes de l’expression et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des représentations, en exceptant toujours le cas où dans lequel le premier nombre n’est que la moitié du second.
4o. Comme il suffit de connaître l’une des deux valeurs , , pour avoir l’autre, les opérations peuvent encore s’abréger ; si la valeur s’obtient par la représentation du nombre par une forme contenue dans la classe la valeur opposée se tirera évidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente de la classe si celle-ci n’est pas ambiguë. Il suit de là que, quand toutes les classes de ne sont pas ambiguës, il ne faut considérer que la moitié des autres, c’est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l’une et l’on négligera l’autre, que l’on voit d’avance et sans calcul devoir fournir
