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ARITHMÉTIQUES
exemple, les congruences
![{\displaystyle x+3y+z\equiv 1,\quad 4x+y+5z\equiv 7,\quad 2x+2y+z\equiv 3{\pmod {8}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7da65160354b7ed6eaba663a16b995bb97cf152)
on trouvera
donc
![{\displaystyle \sum \left(a\xi \right)=-15,\qquad \sum \left(f\xi \right)=-26\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8915f5a4c4b025749e45fc669cd593af0dfff1)
donc
et partant
. De la même manière on trouvera
, et de là,
5o. Si tous les coefficiens
ne sont pas premiers avec le module, soient
les plus grands diviseurs communs de
et de
,
,
respectivement ; et il est évident que le problème est impossible, si
ne divisent aussi
respectivement ; mais quand ces conditions auront lieu, le problème sera résolu complètement par des congruences telles que
![{\displaystyle x\equiv p{\pmod {\frac {m}{\alpha }}},\quad y\equiv q{\pmod {\frac {m}{\beta }}},\quad z\equiv r{\pmod {\frac {m}{\gamma }}},\quad {\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c3f2faec193e4ee3ca5a6e5ba0dc7d9609baf8)
ou si l’on aime mieux,
on aura
valeurs différentes pour
savoir :
valeurs pour
valeurs pour
qui satisferont aux congruences. Toutes les solutions de la question, s’il y
en a quelques-unes, devront se trouver parmi celles que nous venons
d’indiquer ; mais il n’est pas permis de renverser la conclusion ;
car souvent toutes les combinaisons des
valeurs de
avec celles
de
et celles de
etc. ne satisfont pas au problème, mais seulement
quelques-unes dont la liaison s’exprime au moyen d’une ou de
plusieurs équations de condition. Au reste comme la solution complète de ce problème n’est pas nécessaire pour la suite, nous ne
nous étendrons pas davantage ici sur ce sujet, et nous nous contenterons d’en donner une idée par un exemple.
Soient proposées les congruences
![{\displaystyle 3x+5y+z\equiv 4,\quad 2x+3y+2z\equiv 7,\quad 5x+y+3z\equiv 6{\pmod {12}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f68a170e318d21a4626f52ff91f946f34a6374f)
on aura ici
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403) |
![{\displaystyle \qquad \xi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e622dacbe44c48c2b6ed87dca312e12e24c0989) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb5d712782dc39d55b585dfb6f09d13ea8de163) |
![{\displaystyle \qquad \xi ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c69d15f7584ab5c767d0a8ea13922a141243c6) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403) |
![{\displaystyle \qquad \nu '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0455d86543558e8fac5b48ddc204678a9ce51eb) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc5fd8163a83100c5330622e9e317fa4e872403) |
![{\displaystyle \qquad \nu ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4becd2ee4c0d3bc27cabc6894fb8d870b5b9ae12) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
![{\displaystyle \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c3916703cae7938143d38865f78f27faadd4ae) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle -13,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee4000536942abe42ca4c2862ac6ca358dfc27f5) |
![{\displaystyle \qquad \zeta '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a77a428cbfbe37c9eab2d51dfaaf18266c45e3) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
![{\displaystyle 22,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ccfdd39d87370f37f869db2413a8df0925a84a) |
![{\displaystyle \qquad \zeta ''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3856812ec482fb321f98d548364f2edf77225507) |
![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
|
d’où
d’où l’on tire quatre valeurs de
savoir,
une seule de
quatre de
savoir,
. Or pour découvrir quelles combinaisons
des valeurs de
et de
on peut admettre, substituons à la place de
ce qui change les congruences proposées
en
et
,