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ARITHMÉTIQUES.

$mz\equiv A-3n{\pmod {25}}$ sont $9$ et $24$, qui sont toutes deux résidus de $25$ ; les valeurs des expressions ${\sqrt {g}}$ et ${\sqrt {24}}{\pmod {25}}$ sont $\pm 3$ et $\pm 7$ ; ainsi rejetant les nombres des formes $25t\pm 3$, $25t\pm 7$, ceux qui restent sont au nombre de dix :

$173,\,373,\,537,\,667,\,737,\,1083,\,1213,\,1283,\,1517,\,1577$…(ω'')

Pour $E=7$, les racines des congruences

$mz\equiv A-3n$,—$mz\equiv A-5n$, —$mz\equiv A-6n{\pmod {49}}$

sont $32,$ $39,$ $18,$ qui sont toutes résidus de $49$ ; les valeurs des expressions ${\sqrt {32}},$ ${\sqrt {39}},$ ${\sqrt {18}}{\pmod {49}}$ sont $\pm 9,$ $\pm 23,$ $\pm 19$ ; en rejetant de $\omega ''$ les nombres de la forme

$49t\pm 9$,——$49t\pm 19$, ——$49t\pm 23,$

il reste les cinq suivans :

$537,\,737,\,1083,\,1213,,1517,$…………(ω''')

Pour $E=8$, on a $a=5$, d’où $\alpha =5$ qui est non-résidu de $8$ ; ainsi l’excluant $8$ ne peut être employé. Le nombre $9$ doit être passé, par la même raison que le nombre $3$.

Pour $E=11$, les nombres $a$, $b$, etc. sont $2$, $6$, $7$, $8$, $10$, et $\nu =0$ ; donc les nombres $\alpha$, $\beta$, etc. sont $8$, $10$, $5$, $0$, $1$, parmi lesquels $0$, $1$ et $5$ sont seuls résidus de $11$ ; de là on conclut que l’on doit rejeter de ωα les nombres de la forme

$11t$,——$11t\pm 1$, ——$11t\pm 4.$

Il reste $537$, $1083$, $1213$ ; en essayant ces nombres, ils donnent pour $V$ les valeurs

$21961$,——$16129$, ——$14161,$

dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l’équation proposée admet deux solutions par des valeurs positives de $x$, $y$.

$x=1083$,——$y=127$ ; ——$x=1213$,——$y=119.$

2^o. Si l’on veut chercher par exclusion l’autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme

$455x^{2}+3y^{2}=10857362,$

en échangeant $x$ et $y,$ afin de conserver la notation des n^os 323, 324.