nous ferons voir ensuite comment on peut y ramener les autres. Nous commencerons par observer que la mantisse d’une telle fraction , dans laquelle nous supposons que le numérateur ne soit pas divisible par le nombre premier , est toujours finie lorsque , ou , et qu’elle est composée de chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre entier, sera ; dans le second, . Ces vérités sont si évidentes, qu’il est inutile de s’y arrêter.
Mais si est un autre nombre premier, ne sera jamais divisible par quel que grand que l’on prenne ; d’où il suit que la mantisse de la fraction est nécessairement infinie. Supposons que soit la plus petite puissance de qui soit congrue à l’unité, suivant le module (V. Section III, où nous avons fait voir que est égal à , ou à une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que est le premier nombre de la suite , , , etc. qui soit congru avec , suivant le même module. Or comme, par le no 312, les mantisses des tractions , , , etc. resultent de celle de la fraction en supprimant le premier chiffre, les deux, trois, etc. premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les premiers chiffres, et non auparavant, les mêmes chiffres reparaîtront dans le même ordre. Ces premiers chiffres qui, répétés à l’infini, forment la mantisse, peuvent être nommés période de cette mantisse ou de la fraction, et il est clair que la grandeur de la période, c’est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est , est tout-à-fait indépendant du numérateur et que le dénominateur seul le détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction est , celle de la fraction est [1].
- ↑ Robertson marque le commencement et la fin de la période, en plaçant un point sur le premier et le dernier chiffre (Theory of circulating fractions, Philos, trans., 1764), mais nous ne l’avons pas jugé nécessaire.
