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RECHERCHES

sous la forme ${\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}\,+\ {\text{etc}}.\ \mp k$, de manière que $\alpha$, $\beta$, etc. soient positifs et moindres que $a$, $b$, etc., c’est-à-dire que si l’on supposait

${\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+\ {\text{etc}}.\ \mp k={\frac {\alpha '}{a}}+{\frac {\beta '}{b}}+{\frac {\gamma '}{c}}+\ {\text{etc}}.\ \mp k',$

on aurait nécessairement $\alpha =\alpha '$, $\beta =\beta ',$ etc. \ $k=k'$, tant que $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, etc. seront positifs et plus petits que $a$, $b$, $c$, etc. En effet, en multipliant par $n=abcd$, etc., on a $m\equiv abcd$, etc., $\equiv \alpha 'bcd,\ {\text{etc}}.\ {\pmod {a}}$, et comme $bcd$ etc. est premier avec $a$, il s’ensuit nécessairement $\alpha =\equiv \alpha '$, et partant $\alpha =\alpha '$ ; de même $\beta =\beta '$, etc., et parconséquent $k=k'$. Or comme il est absolument arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent être cherchés comme $\alpha$ dans le n^o précédent, par exemple, $\beta$ par la congruence $\beta acd$, etc. ${\pmod {b}}$, $\gamma$ par la congruence $\gamma abd$, etc. $\equiv m\,{\pmod {c}}$, etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre entier $=k$, ce qui nous donne un moyen de confirmer le calcul.

Ainsi dans l’exemple du n^o précédent, les valeurs des expressions

$\textstyle {\frac {391}{231}}{\pmod {4}},\,{\frac {391}{308}}{\pmod {3}},\,{\frac {391}{132}}{\pmod {7}},\,{\frac {391}{84}}{\pmod {11}},$

donnent les numérateurs $1$, $2$, $1$, $4$, qui répondent aux dénominateurs $4$, $3$, $7,$ $11,$ et l’on trouve que la somme de ces fractions surpasse d’une unité la fraction proposée.

312. Définition. Si l’on convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales^[1] (en excluant la partie entière, s’il y en a), soit finie, soit infinie, s’appellera mantisse de la fraction, en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n’était jusqu’à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction ${\frac {1}{8}}$ est $125$, la mantisse de la fraction ${\frac {35}{16}}$ est $1875$, celle de la fraction ${\frac {2}{37}}$ est $054054......$ à l’infini.

Il suit de là sur-le-champ, que deux fractions ${\frac {l}{n}}$, ${\frac {m}{n}}$ de même

1. Pour abréger, nous ne nous arrêtons qu’au système décimal vulgaire, quoique nos recherches pussent s’étendre à un système quelconque.