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RECHERCHES

1^o . Si la série $K$, $C$, $C^{2}$, $C^{3}$…$C^{m-1}$ est prolongée au-delà de $C^{m-1}$, les mêmes classes reparaissent de nouveau, desorte qu’on a $C^{m}=K$, $C^{m+1}=C$, $C^{m+2}=C^{2}$, etc. ; et généralement, si l’on regarde $K$ comme $C^{0},$ les classes $C^{g}$ et $C^{g'}$ seront identiques ou différentes, suivant que $g$ et $g'$ seront congrus ou incongrus suivant le module $m$. Ainsi la classe $C^{n}$ est toujours identique avec la classe principale $K$.

2^o . Nous appellerons périodes de la classe $\mathrm {C}$ l’ensemble $K$, $C$, $C^{2}$, $C^{3}$…$C^{m-1}$, que nous avons désigné par (Γ) ; mais cette expression ne doit pas être confondue avec les périodes de formes réduites de déterminant positif non-quarré, dont nous avons parlé n^o 186 et suivans. Ainsi il est clair que de la composition de tant de classes $C^{g}$, $C^{g'}$, $C^{g''}$ etc. qu’on voudra, il résulte une classe $C^{g+g'+g''+etc.}$ contenue dans la même période.

3^o . Comme $C.C^{m-1}=K$, les classes $C$ et $C^{m-1}$ seront opposées, et partant $C^{2}$ et $C^{m-2}$, $C^{3}$ et $C^{m-3}$, etc. Ainsi, lorsque $m$ est pair, la classe $C^{\frac {m}{2}}$ a sera elle-même son opposée, et sera parconséquent ambiguë ; réciproquement, si, indépendamment de $K$, il se trouve dans (Γ) une autre classe ambiguë $C^{g}$ on aura $C^{g}=C^{m-g}$, et partant $g=m-g={\frac {1}{2}}m$. Il suit de là que si $m$ est pair, il n’y a pas d’autre classe ambiguë que $K$ et $C^{g}$, et que si $m$ est impair, il n’y en a pas d’autre que $K$.

4^o . Si la période d’une classe $C^{k}$ contenue dans (Γ) est $K$, $C^{h}$, $C^{2h}$,$C^{3h}$, $C^{(m'-1)h}$, il est évident que $m'h$ est le plus petit multiple de $h$ qui soit divisible par $m$. Si donc $m$ et $h$ sont premiers entre eux, on aura $m=m'$ et les deux périodes contiendront les mêmes classes, mais dans un ordre différent ; mais généralement, $\mu$ étant le plus grand commun diviseur des nombres $m$, $h$, on aura $m'={\frac {m}{\mu }}$ ; d’où il suit que le nombre de classes contenues dans la période d’une classe quelconque prise dans (Γ) est $m$ ou une partie aliquote de $m$, et qu’il y a autant de classes de (Γ) dont les périodes soient composées de $m$ termes, qu’il y a de nombres premiers avec m dans la suite $0$, $1$, $2$,……$m-1$, c’est- à-dire, qu’il y en a $\varphi m$, en employant le signe du n^o 39. Généralement, il y aura autant de classes dans (Γ) dont les périodes