Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/39

17

ARITHMÉTIQUES

33. Quand tous les nombres $A,\ B,\ C,$ etc. sont premiers entre eux, leur produit est le plus petit nombre divisible par chacun d’eux ; et dans ce cas il est évident que toutes les congruences $z\equiv a{\pmod {A}}$, $z\equiv b{\pmod {B}}$ etc. se ramèneront à une seule $z\equiv r{\pmod {R}}$ qui leur équivaudra, $R$ étant le produit des nombres $A,\ B,\ C,$ etc. : il suit de là réciproquement qu’une seule condition $z\equiv r{\pmod {R}}$ peut être décomposée en plusieurs $z\equiv r{\pmod {A}}$, $z\equiv r{\pmod {B}}$ ; $z\equiv r{\pmod {C}}$ etc. si $A,\ B,\ C,$ etc, sont les différens facteurs premiers entr’eux qui composent $R$. Cette observation nous donne non-seulement le moyen de découvrir l’impossibilité lorsqu’elle existe, mais encore une méthode plus commode et plus élégante pour déterminer les racines,

34. Soient comme ci-dessus les conditions $z\equiv a{\pmod {A}}$, $z\equiv b{\pmod {B}}$, $z\equiv c{\pmod {C}}$, etc. On résoudra tous les modules en facteurs premiers entr’eux ; $A$ en $A'A''A'''$ etc. ; $B$ en $B'B''B'''$ etc. ; de manière que les nombres $A',\ A''$, etc., $B',\ B''$, etc. soient premiers ou puissances de nombres premiers ; si l’un des nombres $A,\ B,\ C,$ etc. était premier lui-même ou puissance d’un nombre premier, il n’y aurait, pour lui, aucune décomposition à faire. Alors ce qui précède fait voir que l’on peut, aux conditions données, substituer les suivantes $z\equiv a{\pmod {A'}}$, $z\equiv a{\pmod {A''}}$, $z\equiv a{\pmod {A'''}}$, etc. ; $z\equiv b{\pmod {B'}}$, $z\equiv b{\pmod {B''}}$, etc., etc. Or, à moins que tous les nombres $A,\ B,\ C$, etc, ne fussent premiers entr’eux ; par exemple, si $A$ n’est pas premier avec $B$, il est évident que tous les diviseurs premiers ne peuvent être différens dans $A$ et dans $B$, mais qu’il doit y avoir quelqu’un des diviseurs $A'$, $A''$, etc., qui trouve son égal, son multiple, ou son soumultiple parmi les diviseurs $B'$, $B''$, etc. Soit d’abord $A'=B'$, les conditions $z\equiv a{\pmod {A'}}$, $z\equiv b{\pmod {B'}}$, doivent être identiques, et l’on doit avoir $z\equiv b{\pmod {A'}}$ ou ${\pmod {B'}}$ ; ainsi l’une ou l’autre de ces deux conditions peut être rejetée ; mais si l’on n’a pas $a\equiv b{\pmod {A'}}$, le problème est impossible. Soit ensuite $B'$ un multiple de $A'$, la condition $z\equiv a{\pmod {A'}}$ doit être contenue dans celle-ci, $z\equiv b{\pmod {B'}}$, ou bien celle-ci, $z\equiv b{\pmod {A'}}$, qui se déduit de la dernière, doit être équivalente à la première ; d’où il suit que la condition $z\equiv a{\pmod {A'}}$, peut être rejetée, si elle ne contrarie pas l’autre, auquel cas le problème serait im-

C