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ARITHMÉTIQUES
33. Quand tous les nombres
etc. sont premiers entre
eux, leur produit est le plus petit nombre divisible par chacun d’eux ;
et dans ce cas il est évident que toutes les congruences
,
etc. se ramèneront à une seule
qui
leur équivaudra,
étant le produit des nombres
etc. :
il suit de là réciproquement qu’une seule condition
peut être décomposée en plusieurs
,
;
etc. si
etc, sont les différens facteurs
premiers entr’eux qui composent
. Cette observation nous donne
non-seulement le moyen de découvrir l’impossibilité lorsqu’elle
existe, mais encore une méthode plus commode et plus élégante
pour déterminer les racines,
34. Soient comme ci-dessus les conditions
,
,
, etc. On résoudra tous les modules en
facteurs premiers entr’eux ;
en
etc. ;
en
etc. ;
de manière que les nombres
, etc.,
, etc. soient premiers ou puissances de nombres premiers ; si l’un des nombres
etc. était premier lui-même ou puissance d’un nombre
premier, il n’y aurait, pour lui, aucune décomposition à faire. Alors
ce qui précède fait voir que l’on peut, aux conditions données,
substituer les suivantes
,
,
, etc. ;
,
, etc., etc.
Or, à moins que tous les nombres
, etc, ne fussent premiers
entr’eux ; par exemple, si
n’est pas premier avec
, il est évident que tous les diviseurs premiers ne peuvent être différens dans
et dans
, mais qu’il doit y avoir quelqu’un des diviseurs
,
, etc.,
qui trouve son égal, son multiple, ou son soumultiple parmi les
diviseurs
,
, etc. Soit d’abord
, les conditions
,
, doivent être identiques, et l’on
doit avoir
ou
; ainsi l’une ou l’autre
de ces deux conditions peut être rejetée ; mais si l’on n’a pas
, le problème est impossible. Soit ensuite
un multiple de
, la condition
doit être contenue dans
celle-ci,
, ou bien celle-ci,
,
qui se déduit de la dernière, doit être équivalente à la première ;
d’où il suit que la condition
, peut être rejetée,
si elle ne contrarie pas l’autre, auquel cas le problème serait im-
C