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ARITHMÉTIQUES.
substitution (S), toutes les solutions de l’équation en nombres
entiers. Or nous avons vu (I) que toutes les solutions de l’équation sont contenues sous les formules
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et étant des nombres entiers indéterminés, et un nombre indéterminé qui peut être fractionnaire, pourvu que , , restent entiers. En substituant ces valeurs dans (S), on aura toutes les solutions de l’équation en nombres entiers.
Ainsi, par exemple, si ,
et que l’on ait la solution , , , en faisant
, , , , , , , , , , , il en résulte
. Toutes les solutions de l’équation en nombres entiers seront renfermées dans les formules
,
——,
——
et partant toutes celles de l’équation , dans les suivantes :
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300. Le problème du no précédent conduit naturellement à la
solution de l’équation
lorsque l’on ne demande que des nombres rationnels (Nous l’avons résolue plus haut (nos 216 et suiv.) dans le cas où l’on demande des entiers) ; car toutes les valeurs rationnelles de et pourront être représentées par , , de manière que , et soient des entiers ; d’où il suit que la résolution de cette équation en nombres rationnels, revient à celle de l’équation
en nombres entiers ; mais cette dernière coïncide avec l’équation traitée au no précédent. On doit seulement exclure les solutions dans lesquelles ; mais il ne peut y en avoir de telles quand n’est pas un quarré.
Ainsi, par exemple, toutes les solutions en nombres rationnels
de l’équation