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ARITHMÉTIQUES.

les fois qu’il en résulte une fraction, il suffit de multiplier les valeurs de $x$, $x'$, $x''$ par le dénominateur de la fraction, et l’on obtient une solution entière. On doit seulement exclure les valeurs de $x'$, $x''$ qui rendraient $b'x''+b''x'=0$, à moins qu’elles ne rendissent aussi $a'x'^{2}+2bx'x''+a''x''^{2}=0$, auquel cas $x$ peut être pris arbitrairement. On voit en même temps que de cette manière on obtient toutes les solutions possibles. Au reste, le cas où $b'=b''=0$ sort de nos considérations ; car $x$ n’entre plus dans la forme, c’est-à-dire que $f$ est une forme binaire, et que l’on peut juger par la théorie des formes binaires si zéro est représentable par elle.

II. Mais quand $a$ n’est pas $=0$, l’équation $f=0$ revient à

$(ax+b''x'+b'x'')^{2}-A''x'^{2}+2Bx'x''-A'x''^{2}=0,$

en posant $b''^{2}-aa'=A$, $ab-b'b''=B$, $b'^{2}-aa''=A'$.

Or quand $A''=0$, et que l’on n’a pas $B=0$, il est évident que si $ax+b''x'+b'x''$ et $x''$ sont pris arbitrairement, $x$ et $x'$ obtiennent des valeurs rationnelles, et si elles ne sont pas entières, un multiplicateur convenable donnera des entiers. Il n’y a que lorsque l’on prend $x''=0$ que $ax+b''x'+b'x''$ n’est plus arbitraire ; il doit être aussi $=0$. La valeur de $x'$ peut être prise arbitrairement et produira des valeurs rationnelles pour $x$. Quand on a à-la-fois $A''=0$, $B=0$, il est clair que dans le cas où $A'=0$ est un quarré $k^{2}$, l’équation $f=0$ est décomposable en deux équations linéaires (dont l’une ou l’autre doit avoir lieu),

$ax+b''x'+(b'+k)x''=0,\quad ax+b''x'+(b'-k)x''=0\,;$

mais si, dans la même hypothèse, $A'$ n’est pas un quarré, il est évident que la solution de l’équation proposée dépend des équations $x''=0,$ $ax+b''x'=0,$ qui doivent avoir lieu en même temps.

Au reste, il est à peine nécessaire d’observer que la méthode du paragraphe I s’appliquerait de même quand $a'=0$ ou $a''=0$, et celle du paragraphe II, quand $A'=0$.

III. Mais quand on n’a ni $a=0$, ni $A'=0$, l’équation $f=0$ peut se mettre sous la forme

$A''(ax+b''x'+b'x'')-(A''x'-Bx'')^{2}+Dax''^{2}=0,$