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RECHERCHES

$bc$ , $ac$ , $ab$ respectivement, et soit fait

\alpha a=\beta \gamma A,\quad \beta b=\alpha \gamma B,\quad \gamma c=\alpha \beta C.

$A$ , $B$ , $C$ seront entiers et premiers entre eux ; l’équation (ω') sera résoluble ou non, suivant que l’équation $AX^{2}+BY^{2}+CZ^{2}=0$ le sera ou ne le sera pas, ce qui pourra se déterminer par le n^o 294.

1^o . Soit fait $bc=H\alpha ^{2}$ , $ac=K\beta ^{2}$ , $ab=L\gamma ^{2}$ , $H$ , $K$ , $L$ sont des entiers délivrés de facteurs quarrés, et l’on a $H=BC$ , $K=AC$ , $L=AB$ ; donc $HKL=(ABC)^{2}$ , et partant $ABC=AH=BK=CL$ est nécessairement un nombre entier. Soit $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $H$ et $AH$ , et $H=gm$ , $AH=hm$ ; $g$ sera premier avec $h$ et avec $m$ , puisque $H$ est libre de tout facteur quarré. Or on a $h^{2}m=gA^{2}H=gKL,$ donc $g$ divisera $h^{2}m,$ ce qui est impossible à moins que l’on n’ait $g=\pm 1,$ et partant $H=\pm m,$ $A=\pm h\,;$ donc $A$ est entier : on démontrera de même que $B$ et $C$ le sont.

2^o . Puisque $H=BC$ ne renferme pas de facteurs quarrés, $B$ et $C$ sont nécessairement premiers entre eux. De même $A$ et $B$ , $B$ et $C$ sont premiers entre eux.

3^o . Enfin il est évident que si l’on satisfait à l’équation (ω) en faisant $X=P,$ $Y=Q,$ $Z=R,$ on satisfera à l’équation (ω') en faisant $x=\alpha P,$ $y=\beta Q,$ $z=\gamma R,$ et réciproquement si l’on satisfait à l’équation (ω') en faisant $x=p$ , $y=q,$ $z=r,$ on satisfera à l’équation (ω) en faisant $X=\beta \gamma p,$ $Y=\alpha \gamma q,$ $Z=\alpha \beta r.$ Ainsi toutes deux sont résolubles, ou aucune ne l’est.