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ARITHMÉTIQUES.

confirmer sa supposition. Nous avons démontré (n^o 129) qu’il existe nécessairement des nombres premiers dont $p$ soit non-résidu ; mais notre méthode ne paraît pas pouvoir démontrer l’existence de tels nombres, qui soient en même temps de la forme $4n+3$ (ce qui est exigé ici, et non dans notre première démonstration). Au reste, nous pouvons facilement démontrer, comme il suit, la légitimité de cette supposition. Par le n^o 287, il y aura un genre positif de formes binaires de déterminant $-p$ dont le caractère sera $3,4$ ; $Np$ : soit $(a,b,c)$ une telle forme, et $a$ impair (ce que l’on peut supposer). Alors $a$ sera de la forme $4n+3$ , et il sera premier ou divisible par un facteur premier de $r$ de la forme $4n+3$ . D’ailleurs on aura $-pRa$ , et partant, $-pRr$ , d’où $pNr$ . Mais il faut remarquer que les propositions des n^o 263, 287 s’appuient sur le théorème fondamental, et que parconséquent c’est faire un cercle vicieux que d’établir sur elles une partie de la démonstration de ce théorème. — La supposition de la première méthode du troisième cas est encore beaucoup plus gratuite, ensorte qu’il est inutile de nous y arrêter.

Qu’il nous soit permis d’ajouter une observation à l’égard du cinquième cas, qui n’est pas assez prouvé par la méthode précédente, mais qui n’échappe pas à la suivante. Si l’on avait à-la-fois $pNq$ , $qNp$ , on aurait $-pRq$ , $-qRp$ ; d’où l’on conclut facilement que $-1$ est nombre caractéristique de la forme $(p,0,q)$ , qui parconséquent, d’après la théorie des formes ternaires peut être représentée par la forme Soit

pt^{2}+qu^{2}=(\alpha t+\beta u)^{2}+(\alpha 't+\beta 'u)^{2}+(\alpha ''t+\beta ''u)^{2},

ou

{

par les deux premières équations, $\alpha$ , $\alpha '$ , $\alpha ''$ , $\beta$ , $\beta '$ , $\beta ''$ doivent être tous impairs ; mais alors la troisième ne peut subsister. Le deuxième cas peut se traiter d’une manière semblable.

298. Problème. $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ étant des nombres quelconques dont cependant aucun n’est $=0,$ trouver les conditions nécessaires pour que l’équation $\mathrm {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} \dots$ (ω') soit résoluble.

Soient $\alpha ^{2},\,\beta ^{2},\,\gamma ^{2}$ les plus grands quarrés qui puissent diviser

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