premiers et ; il est facile de conclure de la section IV, que tous les nombres moindres que , premiers avec lui, qui sont au nombre de , peuvent être distribués en quatre classes égales, dont l’une contient les non-résidus de et de , et les trois autres les nombres qui sont résidus de ou de seulement, ou de tous les deux : d’ailleurs, dans chaque classe, moitié des nombres seront de la forme , et l’autre de la forme . Parmi ces nombres, il y en aura donc qui seront non-résidus de et de , et de la forme . Représentons-les par , , , etc., et tous les autres qui sont au nombre de par , , etc. Il est évident que tous les nombres de la forme
seront à-la-fois non-résidus de et de , et de la forme .
Or, pour établir la démonstration, il ne reste plus qu’à faire
voir qu’il y a nécessairement des nombres premiers compris sous
les formes (G) ; cette assertion paraît d’autant plus plausible,
que ces formes jointes aux formes
renferment tous les nombres premiers à et , et parconséquent tous les nombres absolument premiers (excepté , et ), et qu’il n’y a pas de raison pour que la suite des nombres premiers ne soit pas distribuée également entre ces formes, de manière que la huitième partie appartienne à (G), et les autres à (H). Cependant on voit sans peine combien un tel raisonnement est
éloigné de la rigueur géométrique. Legendre avoue lui-même
qu’il lui semble assez difficile de démontrer qu’il y a nécessairement des nombres premiers compris sous la forme
, et étant deux nombres premiers entre eux, et un nombre
indéterminé, et il indique une autre méthode qui conduirait
peut-être au but proposé. Mais il nous semblerait nécessaire de
faire beaucoup de recherches préliminaires, avant de parvenir
par cette dernière voie à une démonstration rigoureuse. — Il
suppose encore (III, seconde méthode) qu’il existe un nombre
premier , de la forme , dont un nombre premier donné , de la forme , soit non-résidu ; mais il n’a rien ajouté pour
