Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/38

Cette page a été validée par deux contributeurs.
16
RECHERCHES


quelconques ; problème qui sera d’un fréquent usage dans la suite. Soient d’abord deux modules, suivant lesquels le nombre cherché doit être congru aux nombres et Toutes les valeurs de sont nécessairement renfermées dans la formule est indéterminé, mais tel que de sorte que si est le plus grand diviseur commun de et de la résolution complète de cette congruence prendra cette forme ou ce qui revient au même, étant un nombre entier indéterminé ; donc la formule renferme toutes les valeurs de ce qui revient à S’il y avait un troisième module suivant lequel le nombre cherché dût être on suivrait la même marche, après avoir réuni les deux premières conditions en une seule. Ainsi soit le plus grand commun diviseur des nombres et on obtiendra la congruence qui sera résolue par une congruence de la forme et le problème le sera par la congruence on procéderait de même , quel que fût le nombre des modules. Il convient d’observer que sont respectivement les plus petits nombres divisibles à la fois par ou par et l’on en conclut facilement, quel que soit le nombre des modules que si l’on représente par le plus petit nombre divisible par chacun d’eux, on aura la résolution complète, en prenant Au reste, si l’une des congruences n’est pas résoluble, il faut en conclure que le problème est impossible ; mais il est évident que cela ne peut arriver si les nombres sont premiers entre eux.

Soient par exemple ici les deux conditions que et se réduisent à une seule qui, jointe à la troisième donnera enfin

33.