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RECHERCHES

trancher le quarré d’un nombre pairement pair ; d’un nombre de la forme $8n+7,$ le quarré d’un nombre impairement pair ; d’un nombre de la forme $8n+4$, le quarré d’un nombre impair, et le reste sera décomposable en trois quarrés. Au reste, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange (Nouveaux Mémoires de l’Acad. de Berlin, 1770, p. 123). La démonstration de cet illustre géomètre, qui est entièrement différente de la nôtre, a été exposée avec plus de détails par Euler (Acta Ac.Petr. Vol. II, p. 48).

Les autres théorèmes de Fermat, qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir : que tout nombre entier est décomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexagones, sept heptagones, manquent jusqu’à présent de démonstration et paraissent exiger d’autres principes.

294. Théorème. $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ étant des nombres premiers entre eux, dont aucun n’est $=0$, ni divisible par un quarré, l’équation $\mathrm {ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0} \dots$(ω) n’admettra pas de solutions entières (excepté la solution $\mathrm {x=y=z=0} ,$ que nous ne considérons pas), à moins que $\mathrm {-bc} ,$ $\mathrm {-ac} ,$ $\mathrm {-ab}$ ne soient résidus quadratiques de $\mathrm {a} ,$ $\mathrm {b} ,$ $\mathrm {c}$ respectivement, et que ces derniers ne soient affectés de signes différens ; mais si ces conditions ont lieu, l’équation (ω) sera résoluble en nombres entiers.

Si (ω) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par des valeurs de $x$, $y$, $z$ qui n’auront pas de diviseur commun ; car toutes les valeurs qui satisferont à l’équation (ω), y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun diviseur. Supposons donc que l’on ait $ap^{2}+bq^{2}+cr^{2}=0,$ et que $p,$ $q,$ $r$ soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si $q$ et $r$ avaient un commun diviseur $\mu ,$ ce nombre serait premier avec $p$ ; mais $\mu ^{2}$ divise $ap^{2}$, donc il diviserait $a$, contre l’hypothèse : par la même raison, $p$ et $r$, $p$ et $q$ sont premiers entre eux ; $-ap^{2}$ peut donc être représenté par la forme binaire $by^{2}+cz^{2}$, en attribuant à $y$, $z$ des valeurs premières entre elles et qui seront celles de $q$ et de $p$ ; ainsi le déterminant $-bc$ de cette forme est résidu quadratique de $ap^{2},$ et parconséquent de $a$ (n^o 154). On aura de la même manière $-acRb$, $-abRc$. Quant à la condition qui exige que $a,$ $b,$ $c$ n’aient pas le même signe, elle est si évidente qu’elle n’a pas besoin d’explication.