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ARITHMÉTIQUES.

293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que tout nombre entier positif est toujours décomposable en trois nombres triangulaires ; théorème célèbre trouvé par Fermat, mais dont la démonstration manquait jusqu’à présent^[1]. Il est évident que toute décomposition du nombre $M$ en trois nombres triangulaires

${\frac {1}{2}}x(x+1)+{\frac {1}{2}}y(y+1)+{\frac {1}{2}}z(z+1),$

conduit à une décomposition du nombre $8M+3$ en trois quarrés impairs

$(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2},$

et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif $8M+3$ est décomposable en trois quarrés, qui seront nécessairement impairs (n^o 291, note), et le nombre des décompositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de $8M+3$, que de celui des classes suivant lesquelles peuvent être distribuées les formes binaires dont le déterminant est $-(8M+3).$ Nous supposons que le nombre ${\frac {1}{2}}x(x+1)$ soit regardé comme triangulaire, quelque valeur entière que l’on donne à $x$ ; si l’on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante : Tout nombre entier positif est triangulaire, ou decomposable en deux ou en trois nombres triangulaires. Il faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l’on veut exclure zéro du nombre des quarrés.

On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de

Fermat : Tout nombre entier positif est décomposable en quatre quarrés. En effet, si l’on retranche d’un nombre de la forme $4n+1$ un quarré pair ; d’un nombre de la forme $4n+2$ un quarré arbitraire ; d’un nombre de la forme $4n+3$, un quarré impair ; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres de la forme $4n$, on peut les représenter par $4^{\mu }N$, $N$ étant nécessairement de l’une des trois formes ci-dessus ; or quand on aura décomposé le nombre $N$, en quatre quarrés, le nombre $4^{\mu }N$ le sera aussi. D’un nombre de la forme $8n+3$, on pourrait encore re-

1. Voyez les Additions de l’auteur, à la fin.