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ARITHMÉTIQUES

$95x'''\equiv -90{\pmod {35}}$ ou $19x'''\equiv -18{\pmod {7}}$ , qui donne $x'''\equiv 4{\pmod {7}}$ , d’où $x'''=2+7x^{IV}$ . Or en remontant à la valeur de $x$ , on trouve $x=59+140x^{IV}$ ; donc $x\equiv {59}$ .

31. De la même manière que la racine de l’équation $ax=b$ , s’exprime par ${\frac {b}{a}}$ , nous désignerons par ${\frac {b}{a}}$ la racine d’une congruence $ax\equiv b$ , en y joignant le module pour la spécifier. Ainsi ${\frac {19}{17}}{\pmod {12}}$ représente un nombre quelconque qui est $\equiv 11{\pmod {12}}$ , et qui, par analogie, peut s’exprimer par ${\frac {11}{1}}{\pmod {12}}$ .

Il suit de là généralement que le symbole ${\frac {b}{a}}{\pmod {c}}$ ne signifie rien de réel, ou si l’on aime mieux, est une expression imaginaire, si $a$ et $c$ ont un diviseur commun qui ne divise pas $b$ ; mais, ce cas excepté, l’expression ${\frac {b}{a}}{\pmod {c}}$ a toujours des valeurs réelles, et en a même une infinité : elles seront toutes congrues suivant $c$ , si $c$ est premier avec $a$ et suivant ${\frac {c}{\delta }}$ quand $\delta$ est le plus grand commun diviseur de $a$ et de $c$ .

Ces expressions se calculent presque de même que les fractions ordinaires, et voici quelques propriétés qui se déduisent facilement de ce qu’on a vu.

1^o . Si $a\equiv \alpha$ , $b\equiv \beta$ suivant le module $c$ , les expressions ${\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ , ${\frac {\alpha }{\beta }}{\pmod {c}}$ sont équivalentes.

2^o . ${\frac {a\delta }{b\delta }}{\pmod {c\delta }}$ et ${\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ sont équivalentes.

3^o . ${\frac {ak}{bk}}{\pmod {c}}$ et ${\frac {a}{b}}{\pmod {c}}$ , sont équivalentes quand $k$ est premier avec $c$ .

Nous pourrions rapporter plusieurs propositions semblables ; mais comme elles n’ont aucune difficulté, et qu’elles sont inutiles pour ce qui suivra, nous passerons à autre chose.

32. On peut facilement, au moyen de ce qui précède, trouver tous les nombres qui ont des résidus donnés, suivant des modules