15
ARITHMÉTIQUES
ou
, qui donne
, d’où
. Or en remontant à la valeur de
,
on trouve
; donc
.
31. De la même manière que la racine de l’équation
,
s’exprime par
, nous désignerons par
la racine d’une congruence
, en y joignant le module pour la spécifier. Ainsi
représente un nombre quelconque qui est
, et qui,
par analogie, peut s’exprimer par
.
Il suit de là généralement que le symbole
ne signifie
rien de réel, ou si l’on aime mieux, est une expression imaginaire,
si
et
ont un diviseur commun qui ne divise pas
; mais, ce cas
excepté, l’expression
a toujours des valeurs réelles, et
en a même une infinité : elles seront toutes congrues suivant
, si
est premier avec
et suivant
quand
est le plus grand commun
diviseur de
et de
.
Ces expressions se calculent presque de même que les fractions
ordinaires, et voici quelques propriétés qui se déduisent facilement
de ce qu’on a vu.
1o. Si
,
suivant le module
, les expressions
,
sont équivalentes.
2o.
et
sont équivalentes.
3o.
et
, sont équivalentes quand
est
premier avec
.
Nous pourrions rapporter plusieurs propositions semblables ; mais
comme elles n’ont aucune difficulté, et qu’elles sont inutiles pour ce
qui suivra, nous passerons à autre chose.
32. On peut facilement, au moyen de ce qui précède, trouver tous les nombres qui ont des résidus donnés, suivant des modules