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ARITHMÉTIQUES.
4o. Soit
le nombre des diviseurs premiers impairs de
;
on déduit sans peine du no 233, que le nombre de toutes les
valeurs différentes de l’expression
est
, dont on ne doit considérer que la moitié (quand
) :
ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme
par
sera
; mais le nombre des décompositions
en trois quarrés n’est que
.
Exemple. Soit
, et partant
; on
a ici à considérer (no 283) les quatre valeurs suivantes et l’expression
:
![{\displaystyle (39,237),\quad (171,-27),\quad (269,-83),\quad (291,-127).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e36f5ac35257824d8bfbc929cda3d30c508a6bc)
Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur
, on détermine d’abord la forme ternaire
,
en laquelle on trouve que
se change, à l’aide des méthodes
précédentes (nos 272 et 275), par la substitution
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
,
![{\displaystyle -6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4ef97af022d24d218c5548f54aa789fc647237)
,
![{\displaystyle -0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6d0e9fffdcc10786302e1fb8e4ea3d031d1598)
;
——![{\displaystyle -3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8ffb51bb3837cabdd202845d15aedc67a4ac88)
,
![{\displaystyle -2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e5b5b462e546b1d3d7e5f9a23efece405b2e78)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
;
——![{\displaystyle -3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8ffb51bb3837cabdd202845d15aedc67a4ac88)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
,
![{\displaystyle -1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4fc060b181efc0730a7633597ba96a3215dbaa)
D’où résulte pour la représentation de
par
,
![{\displaystyle x=t-6u,\quad y=-3t-2u,\quad z=-3t-u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82102a8db949ba8aed60bc03092a17ed1870c21d)
Pour abréger, nous nous dispensons d’écrire les
autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces
représentations ne donnent qu’une seule décomposition en trois quarrés,
![{\displaystyle t^{2}-12tu+36u^{2},\quad 9t^{2}+12tu+4u^{2},\quad 9t^{2}+6u+u^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e15ede0416d2d3833a574268859641a588285c)
Absolument de la même manière on tire :
de la valeur |
——— |
la décomposition |
|
![{\displaystyle (171,-27)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b0f3fc7695c533dee36fe2b8a831e0afb0a1cf) |
|
![{\displaystyle (3t+5u)^{2}+(3t-4u)^{2}+t^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1effd2565ae19c7e385c666c8a945ddec9c76b) |
|
![{\displaystyle (269,-83)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c31f9704ea94256103cc40c16cfeefca5cd8d72) |
|
![{\displaystyle (t+6u)^{2}+(3t+u)^{2}+(3t-2u)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6450aac2f4b84f7d557ee36f4fc4d90c34017071) |
|
![{\displaystyle (291,-127)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/369ec5ab3645eec09a7e55290b47aadf3f34b0f8) |
|
. |
|
Chacune de ces décompositions répond à
représentations. Mais ces
représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque,
n’étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.
290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l’égard des
X x