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ARITHMÉTIQUES.
4o. Soit le nombre des diviseurs premiers impairs de ;
on déduit sans peine du no 233, que le nombre de toutes les
valeurs différentes de l’expression
est , dont on ne doit considérer que la moitié (quand ) :
ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme
par sera ; mais le nombre des décompositions
en trois quarrés n’est que .
Exemple. Soit , et partant ; on
a ici à considérer (no 283) les quatre valeurs suivantes et l’expression :
Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur , on détermine d’abord la forme ternaire ,
en laquelle on trouve que se change, à l’aide des méthodes
précédentes (nos 272 et 275), par la substitution
,
,
;
——,
,
;
——,
,
D’où résulte pour la représentation de par ,
Pour abréger, nous nous dispensons d’écrire les autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces représentations ne donnent qu’une seule décomposition en trois quarrés,
Absolument de la même manière on tire :
de la valeur |
——— |
la décomposition |
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|
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. |
|
Chacune de ces décompositions répond à représentations. Mais ces représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, n’étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.
290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l’égard des
X x