On prouverait absolument de la même manière, pour l’ordre improprement primitif, que les caractères démontrés seuls possibles (no 264, 2o et 5o ) sont tous possibles, qu’ils soient de l’espèce ou de l’espèce .
Ces théorèmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent être rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité, ils sont tellement cachés qu’il n’est pas possible d’en donner la démonstration rigoureuse, sans le secours d’un grand nombre d’autres recherches.
Nous passons maintenant à une autre application de la digression précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d’abord le problème suivant ;
288. Problème. étant un nombre positif, trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les formes binaires primitives négatives de déterminant , qui sont résidus quadratiques de , ou pour lesquelles est le nombre caractéristique.
Désignons par l’ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre aux différens diviseurs premiers impairs de , et au nombre ou , quand il divise . Ces caractères seront évidemment , , , etc., , , , etc. étant les diviseurs premiers, et ou , suivant que ou divise . Employons en outre les lettres et dans le même sens qu’au no précédent ou qu’au no 263. Nous distinguerons les cas suivans :
1o . Quand est divisible par , sera le caractère complet, et il est clair (no 233, 5o ) que ne peut être nombre caractéristique que de formes dont le caractère est . Mais il est manifeste que est le caractère de la forme principale , que parconséquent il est de l’espèce , et qu’ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n’y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant, il n’y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de .
2o . Quand , les mêmes raisonnemens ont lieu, avec cette seule différence que dans ce cas l’ordre improprement
