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RECHERCHES
de la duplication de la forme se change en le
produit de cette forme par elle-même, par la substitution
, , , ; , , , .
287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème
précédent.
1o. Si une forme se change, par la substitution , , , ;
, , , , en le produit des deux formes , ,
toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons
toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du
no 235 les équations
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, |
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, |
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et trois autres qu’on obtient en remplaçant dans celles-ci , , ,
par , , , . et sont les racines quarrées positives des quotiens
qui résultent de la division des déterminans des formes ,
par celui de la forme . Si donc ces formes sont identiques ou qu’on ait , , , , les équations
précédentes deviennent , ,
; donc on a nécessairement , et absolument de la même manière, ; ainsi, en donnant aux formes
, les mêmes indéterminées et , et désignant
par , les indéterminées de la forme , se changera en
par la substitution
2o. Si la forme naît de la duplication de la forme , elle
naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la
même classe que , ou la classe de la forme naîtra de la duplication de la classe de la forme (no 238). Ainsi dans l’exemple
du no précédent, naîtra aussi de la duplication de
la forme , proprement équivalente à .
Une fois qu’on connaît une classe de la duplication de laquelle
résulte la classe de la forme , on les trouvera toutes, s’il y en
a plusieurs, à l’aide du problème du no 260. Dans notre exemple,
il n’y a pas d’autre classe positive de cette espèce, parcequ’il