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RECHERCHES
de la duplication de la forme
se change en le
produit de cette forme par elle-même, par la substitution
,
,
,
;
,
,
,
.
287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème
précédent.
1o. Si une forme
se change, par la substitution
,
,
,
;
,
,
,
, en le produit des deux formes
,
,
toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons
toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du
no 235 les équations
|
![{\displaystyle p''hn'-p'h'n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517bc984cac5d509e9b08207eb27f63eba9b873) |
![{\displaystyle -p(in'-i'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0be4d8ca5e5fbee084000e5bd4f052cba3ff1d) |
, |
|
![{\displaystyle (p''-p')(in'+i'n)-}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d769cdd8df904ae350edb6547c7faa7b5a1d0d05) |
![{\displaystyle p(kn'-k'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab7ef0cde173cd0bdd0d24d11081d02f7772349) |
![{\displaystyle +p'''(hn'-h'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27679221e3811ff3c3b70aef74d076d13390b435) |
, |
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|
![{\displaystyle p'kn'-p''Kn}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f912547e80ba2486580847dd1d5b15de498b51de) |
![{\displaystyle -p'''(in'-i'n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb666139e0c71e28f3c7d6370a45ebcf6ad8c5e6) |
, |
|
et trois autres qu’on obtient en remplaçant dans celles-ci
,
,
,
par
,
,
,
.
et
sont les racines quarrées positives des quotiens
qui résultent de la division des déterminans des formes
,
par celui de la forme
. Si donc ces formes sont identiques ou qu’on ait
,
,
,
, les équations
précédentes deviennent
,
,
; donc on a nécessairement
, et absolument de la même manière,
; ainsi, en donnant aux formes
,
les mêmes indéterminées
et
, et désignant
par
,
les indéterminées de la forme
,
se changera en
par la substitution
![{\displaystyle T=pt^{2}+2p'tu+p''u^{2},\qquad U=qt^{2}+2q'tu+q''u^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73c6f94af1cea155f42b36190f1959bb0e9d6701)
2o. Si la forme
naît de la duplication de la forme
, elle
naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la
même classe que
, ou la classe de la forme
naîtra de la duplication de la classe de la forme
(no 238). Ainsi dans l’exemple
du no précédent,
naîtra aussi de la duplication de
la forme
, proprement équivalente à
.
Une fois qu’on connaît une classe de la duplication de laquelle
résulte la classe de la forme
, on les trouvera toutes, s’il y en
a plusieurs, à l’aide du problème du no 260. Dans notre exemple,
il n’y a pas d’autre classe positive de cette espèce, parcequ’il