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ARITHMÉTIQUES.

$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '=b$, $\alpha ''\beta -\alpha \beta ''=c$, ces nombres n’auront pas de commun diviseur, et qu’on aura $D=b^{2}-2ac$.

2^o . De là et à l’aide de la dernière observation du n^o 235, on peut facilement conclure que $F$, par la substitution $2\beta '$, $\beta$, $\beta$, $\beta ''$ ; $2\alpha '$, $\alpha$, $\alpha$, $\alpha ''$, se change en le produit de la forme $(2a,-b,c)$ par elle-même, et par la substitution $\beta '$, $\beta$, $\beta$, $2\beta ''$ ; $\alpha '$, $\alpha$, $\alpha$, $2\alpha ''$, en le produit de la forme $(a,-b,2c)$ par elle-même. Or le plus grand commun diviseur des nombres $2a$, $2b$, $2c$ est $2$ ; si donc $c$ est impair, $2a$, $2b$, $c$ n’auront pas de commun diviseur, et la forme $(a,-b,2c)$ sera une forme proprement primitive. De même si $a$ est impair $(a,-b,2c)$ sera une forme proprement primitive ; dans le premier cas, $F$ naît de la duplication de la forme $(2a,-b,c)$, et dans le deuxième, de la duplication de la forme $(a,-b,2c)$. (Voyez Conclus. 4, n^o 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si $a$, $c$ étaient tous deux pairs, $b$ serait nécessairement impair ; or on s’assure aisément que l’on a $\beta ''a+\beta b+\beta 'c=0$, $\alpha ''a+\alpha b+\alpha 'c=0$ ; donc $\beta b$ et $\alpha b$, et partant $\alpha$ et $\beta$ seraient tous les deux pairs ; $A$ et $C$ le seraient donc aussi, ce qui est contre l’hypothèse, puisque $F$ est une forme du genre principal, et parconséquent de l’ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que $a$ et $c$ soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent $F$ par leur duplication.

Soit proposée, par exemple, la forme $F=(5,2,31)$ de déterminant $-151\ ;$ on trouve $(55,22)$ pour valeur de l’expression ${\sqrt {(5,2,31)}}$ ; donc la forme ternaire ${\begin{array}{l}\varphi ={\begin{pmatrix}5,&31,&4\\11,&0,&2\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Or par les règles du n^o 272, on trouve la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-1\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ équivalente à $\varphi$, et qui se change en elle par la substitution

$2$, $2$, $1$ ; ——$1$, $-6$, $-2$ ; ——$0$, $3$, $1.$

De là, à l’aide des transformations consignées n^o 277, on trouve que ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&0,&0\\-1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ se change en $\varphi$ par la substitution

$5$, $-7$, $-2$ ; ——$2$, $-1$, $0$ ; ——$1$, $-9$, $-3,$

ainsi $a=11$, $b=-17$, $c=20$. Et comme $a$ est impair, $F$ naît

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