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RECHERCHES

effet, si $f$ se change en elle-même par plusieurs substitutions (τ), (τ'), (τ''), etc., et en $f'$ par la substitution (t) , il est aisé de voir qu’en combinant par la méthode du n^o 270, la transformation (t) avec (τ), (τ') , (τ''), il en résulte des transformations par lesquelles $f$ se change en $f'$. En outre, on peut prouver facilement par le calcul, que toute transformation de $f$ en $f'$ peut se déduire de cette manière, de la combinaison de la transformation (t) de $f$ en $f'$ avec une, et une seule transformation de la forme $f$ en elle-même, et que parconséquent la combinaison de la transformation (t) avec les différentes transformations de $f$ en elle-même, donne toutes les transformations de $f$ en $f'$, et ne donnera qu’une fois chacune d’elles.

Nous bornerons ici notre recherche au cas où $f$ est une forme définie dont les coefficiens 4, 5, 6 sont $=0$^[1]. Soit donc ${\begin{array}{l}f={\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, et représentons une substitution quelconque qui change $f$ en elle-même, par

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; ——$\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; ——$\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma '',$

on aura les équations

$a\alpha ^{2}$	$+a'\alpha '^{2}$	$+a''\alpha ''^{2}$	$=a$	$\left.{\begin{matrix}\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \\\ \end{matrix}}\right\}$	…… (ω)
$a\beta ^{2}$	$+a'\beta '^{2}$	$+a''\beta ''^{2}$	$=a'$
$a\gamma ^{2}$	$+a'\gamma '^{2}$	$+a''\gamma ''^{2}$	$=a''$
$a\alpha \beta$	$+a'\alpha '\beta '$	$+a''\alpha ''\beta ''$	$=0$
$a\alpha \gamma$	$+a'\alpha '\gamma '$	$+a''\alpha ''\gamma ''$	$=0$
$a\beta \gamma$	$+a'\beta '\gamma '$	$+a''\beta ''\gamma ''$	$=0$

Or on doit distinguer trois cas :

1^o. Quand $a$, $a'$, $a''$, qui doivent avoir le même signe, sont tous inégaux, nous supposerons $a<a'$, $a'<a''$ ; si l’ordre de grandeur était différent, on trouverait de même les conclusions analogues. La première des équations (ω) exige nécessairement que l’on ait $\alpha '=\alpha ''=0$, et partant $\alpha =\pm 1$ ; les équations 4, 5 donnent alors $\beta =0$, $\gamma =0$ ; l’équation 2 donne $\beta ''=0$ et$\beta '=\pm 1$, et l’équation 6 exige qu’on ait $\gamma '=0$ ; donc par l’équation 3, $\gamma ''=\pm 1$ ; desorte que, à cause de l’ambiguité des signes, il y a en tout huit transformations différentes.

2^o.

1. Les autres cas où la forme $f$ est définie, peuvent se ramener à celui-là ; mais si elle est indéfinie, il faut employer une méthode tout-à-fait différente, et le nombre des transformations est infini.