Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/356

334

RECHERCHES

(R) donnent, en faisant $kB+k'B'+k''B''=m$,

$k\beta +k'\beta '+k''\beta ''=\lambda +m\mu ,$

d’où il suit qu’il n’y a qu’une seule valeur de $\lambda$ comprise entre $0$ et $\mu -1$ ; les valeurs de $B$, $B'$, $B''$, sont alors déterminées, et il ne reste qu’à démontrer qu’elles sont entières. Or on aura

$B$	$={\frac {1}{\mu }}(\beta -A\lambda )$
	$={\frac {1}{\mu }}\{\beta (1-kA)$	$-A(k'\beta '+k''\beta '')\}$	$+Am$
	$={\frac {1}{\mu }}\{k''(A''\beta -A\beta '')$	$-k'(A\beta '-A'\beta )\}$	$+Am$
	$={\frac {1}{e}}\{k''(\alpha ''\beta -\alpha \beta '')$	$-k'(\alpha \beta '-\alpha '\beta )\}$	$+Am$.

Donc $B$ est nécessairement entier. On le démontrera de même pour $B'$, $B''$. Il suit de ces raisonnemens qu’il n’y a aucune représentation impropre de $\Phi$ par $f$ dont on ne puisse déduire une représentation propre d’une forme par $f$, et dont on puisse en déduire plusieurs. Donc la méthode précédente donnera toutes les représentations cherchées, et n’en donnera que de différentes.

En appliquant la même méthode aux autres diviseurs quarrés de $D$, on trouvera toutes les représentations impropres possibles de $\varphi$ par $f$.

Au reste, on voit aisément par cette solution, que le théorème énoncé à la fin du n^o précédent pour les représentations propres, a lieu également pour les représentations impropres, c’est-à-dire, qu’en général aucune forme binaire positive de déterminant négatif ne peut être représentée par une forme ternaire négative, etc. En effet, soit une forme $\varphi$, qui par ce théorème ne puisse être représentée proprement par $f$ ; les formes de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$, ${\frac {D}{e'^{2}}}$, etc. qui renferment $\varphi$, ne pourront non plus être représentées par $f$, puisque leur déterminant sera affecté de même signe que celui de $\varphi$ ; et lorsque ces déterminans sont positifs, toutes les formes sont positives ou négatives, suivant l’espèce de la forme $\varphi$.

285. Nous ne pouvons placer ici que peu de détails sur les questions qui font, le sujet du troisième problème, auquel nous avons réduit les deux autres, c’est-à-dire sur la manière de juger si deux formes ternaires de même déterminant sont équivalentes,