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ARITHMÉTIQUES.

en substituant dans ces formules les valeurs de $T$, $U$, on en déduit les suivantes :

$x=\alpha t+\beta u$, $x'=\alpha 't+\beta 'u$, $x''=\alpha ''t+\beta ''u$……(Q),

dans lesquelles on a de même

$\alpha =\kappa A$,	—	$\alpha '=\kappa A'$,	—	$\alpha ''=\kappa A''$,
$\beta =\lambda A+\mu B$,		$\beta '=\lambda A'+\mu B'$,		$\beta ''=\lambda A''+\mu B''$	……(R)

On traitera de la même manière les autres formes, s’il y en a plusieurs, et je dis qu’on aura ainsi toutes les représentations de la forme $\varphi$ dépendantes du diviseur quarré $e^{2}$.

I. Nous ne nous arrêterons pas à prouver que $f$ se change en $\varphi$ par la substitution (Q), cette partie de la proposition étant évidente ; mais on déduit des valeurs de $\alpha$, $\alpha '$, etc.

$\alpha '\beta ''$	$-$ $\alpha ''\beta '$	$=(A'B''-A''B')e$,
$\alpha ''\beta$	$-$ $\alpha \beta ''$	$=(A''B-AB'')e$,
$\alpha \beta '$	$-$ $\alpha '\beta$	$=(AB'-A'B)e$,

et comme (P) est une représentation propre, il s’ensuit que le plus grand commun diviseur de ces trois nombres est $e$, et que la représentation (Q) dépend du diviseur $e^{2}$.

II. Nous allons maintenant faire voir que de toute représentation donnée de la forme $\varphi$, on peut déduire une représentation propre d’une forme de déterminant ${\frac {D}{e^{2}}}$ contenue parmi les formes trouvées par la première règle ; c’est-à-dire, que des valeurs données de $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, on peut déduire des valeurs entières de $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ qui satisfassent aux conditions prescrites, et des valeurs de $A$, $B$, $A'$, $B'$, $A''$, $B''$ qui satisfassent aux équations (R), et cela d’une seule manière. Il est clair d’abord par les trois premières équations (R), que l’on doit prendre pour $\kappa$ le plus grand commun diviseur des nombres $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$ pris positivement, puisque $A'B''-A''B'$, $A''B-AB''$, $AB'-A'B$ ne devant pas avoir de diviseur commun $A$, $A'$, $A''$ n’en auront pas non plus. Donc $A$, $A'$, $A''$ seront déterminés, ainsi que $\mu$, qui doit être égal à ${\frac {e}{\kappa }}$, et sera nécessairement un nombre entier. Soient trois nombres entiers $k$, $k'$, $k''$, tels qu’on ait $kA+k'A'+k''A''=1$, les trois dernières équations