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ARITHMÉTIQUES.
toutes les représentations de la forme binaire
de déterminant , par la forme ternaire de déterminant .
I. On cherchera toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire,
non équivalentes de l’expression . Ce
problème a déjà été résolu (no 233) pour le cas où est premier
avec , et où la forme est primitive, et les autres
cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d’abréger ne nous permet cependant pas d’insister davantage sur ce
sujet. Observons seulement que lorsque est premier avec ,
l’expression ne peut être résidu quadratique de ,
à moins que ne soit une forme primitive : supposons en effet
on en déduit , ou en développant et
remplaçant par ,
Si donc , , avaient un commun diviseur, ce diviseur diviserait , et parconséquent ne pourrait pas être premier
avec . Ainsi sera une forme primitive.
II. Désignons par le nombre de ces valeurs, et supposons
qu’il s’en trouve opposées à elles-mêmes. Alors il est évident
que parmi les qui restent, chacune aura nécessairement
son opposée, car nous supposons qu’on a toutes les valeurs non
équivalentes. De chaque couple de valeurs opposées, on en rejettera une à volonté, et il en restera en tout . Ainsi,
par exemple, des huit valeurs de l’expression qui sont : , , ,
, , , , ,
les quatre dernières sont à rejeter, comme opposées aux quatre
premières. Au reste, il est aisé de voir que si est une
valeur opposée à elle-même, , et partant , ,
sont divisibles par ; donc dans le cas où et sont premiers
entre eux, il faudrait que , , fussent divisibles par ,
et comme dans ce cas (I) les nombres , , n’ont pas de diviseur commun, doit être divisible par , et partant la chose
ne peut avoir lieu que pour, ou . Donc si
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