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ARITHMÉTIQUES.

toutes les représentations de la forme binaire $\varphi =pt^{2}+2qtu+ru^{2}$ de déterminant $D$ , par la forme ternaire $f$ de déterminant $\Delta$ .

I. On cherchera toutes les valeurs différentes, c’est-à-dire, non équivalentes de l’expression ${\sqrt {\Delta (p,-q,r)}}{\pmod {D}}$ . Ce problème a déjà été résolu (n^o 233) pour le cas où $\Delta$ est premier avec $D$ , et où la forme $(p,-q,r)$ est primitive, et les autres cas se ramènent très-facilement à celui-là. La nécessité d’abréger ne nous permet cependant pas d’insister davantage sur ce sujet. Observons seulement que lorsque $\Delta$ est premier avec $D$ , l’expression $\Delta (p,-q,r)$ ne peut être résidu quadratique de $D$ , à moins que $\varphi$ ne soit une forme primitive : supposons en effet

\Delta p=B^{2}-DA',\quad -\Delta q=BB'-DB'',\quad \Delta r=B'^{2}-DA\,;

on en déduit $(DB''-\Delta q)^{2}=(DA'+\Delta p)(DA+\Delta r)$ , ou en développant et remplaçant $D$ par $q^{2}-pr$ ,

(q^{2}-pr)(B''^{2}-AA')-\Delta (Ap+2B''q+A'r)+\Delta ^{2}=0.

Si donc $p$ , $q$ , $r$ avaient un commun diviseur, ce diviseur diviserait $\Delta ^{2}$ , et parconséquent $\Delta$ ne pourrait pas être premier avec $D$ . Ainsi $\varphi$ sera une forme primitive.

II. Désignons par $m$ le nombre de ces valeurs, et supposons qu’il s’en trouve $n$ opposées à elles-mêmes. Alors il est évident que parmi les $m-n$ qui restent, chacune aura nécessairement son opposée, car nous supposons qu’on a toutes les valeurs non équivalentes. De chaque couple de valeurs opposées, on en rejettera une à volonté, et il en restera en tout ${\frac {1}{2}}(m+n)$ . Ainsi, par exemple, des huit valeurs de l’expression ${\sqrt {-1(19,3,41)}}{\pmod {770}}$ qui sont : $(39,237)$ , $(171,-27)$ , $(269,-23)$ , $(291,-127)$ , $(-39,-237)$ , $(-171,27)$ , $(-269,83)$ , $(-291,127)$ , les quatre dernières sont à rejeter, comme opposées aux quatre premières. Au reste, il est aisé de voir que si $(B,B')$ est une valeur opposée à elle-même, $2B$ , $2B'$ et partant $2\Delta p$ , $2\Delta q$ , $2\Delta r$ sont divisibles par $D$ ; donc dans le cas où $A$ et $D$ sont premiers entre eux, il faudrait que $2p$ , $2q$ , $2r$ fussent divisibles par $D$ , et comme dans ce cas (I) les nombres $p$ , $q$ , $r$ n’ont pas de diviseur commun, $2$ doit être divisible par $D$ , et partant la chose ne peut avoir lieu que pour $D=\pm 1$ , ou $D=\pm 2$ . Donc si $\Delta$

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