Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/347

Cette page a été validée par deux contributeurs.

325

ARITHMÉTIQUES.

on déduit facilement de là

$\alpha m+\gamma n$	$=g-l(gL+g'L'+g''L'')$	$=g$	………
$\beta m+\delta n$	$=h-l(hL+h'L'+h''L'')$	$=h$ .

On trouve de même $\alpha m'+\gamma n'=g'$ , $\beta m'+\delta n'=h'$ , $\alpha m''+\gamma n''=g''$ , $\beta m''+\delta n''=h''$ ; il suit de là que $mt+nu$ , $m't+n'u$ , $m''t+n''u$ se changent en $gp+hq$ , $g'p+h'q$ , $g''p+h''q$ par la substitution $t=\alpha p+\beta q$ , $u=\gamma p+\delta q$ ……(S). D’où il résulte que $\varphi$ se change par la substitution S, en la même forme en laquelle $f$ se change en posant $x=gp+hq$ , $x'=g'p+h'q,$ $x''=g''p+h''q$ , c’est-à-dire en $\chi$ , et que partant $\varphi$ est équivalente à $\chi$ . D’ailleurs on trouve $\alpha \delta -\beta \gamma =Ll+L'l'+L''l''=1$ ; donc la substitution S est propre, et les formes $\varphi$ , $\chi$ sont proprement équivalentes.

On tire de ce qui précède les règles suivantes pour trouver toutes les représentations propres de $D$ par $F$ . On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant $D$ , et l’on prendra à volonté une forme dans chaque classe ; on cherchera toutes les représentations propres par $f$ de ces différentes formes (en rejetant celles qui ne pourraient pas se représenter par $f),$ et de ces différentes représentations, on déduira celles du nombre $D$ par la forme $F$ . Il est évident (1^o. et 2^o.) que de cette manière on aura toutes les représentations possibles, et qu’ainsi la solution est complète ; et qu’en outre (3^o.) les transformations des formes prises dans des classes différentes, produisent nécessairement des représentations différentes.

281. La recherche des représentations impropres d’un nombre donné $D$ par une forme $F$ , se ramène facilement au cas précédent. En effet, il est évident que si $D$ n’est divisible par aucun quarré, il n’y aura aucune représentation de cette espèce ; mais si les quarrés $\lambda ^{2}$ , $\mu ^{2}$ , $\nu ^{2}$ sont diviseurs de $D$ , toutes les représentations de $D$ par $F$ s’obtiendront, en cherchant toutes les représentations propres des nombres ${\frac {D}{\lambda ^{2}}}$ , ${\frac {D}{\mu ^{2}}}$ , ${\frac {D}{\nu ^{2}}}$ , etc. par la forme $F$ , et en multipliant les valeurs des indéterminées par $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ , etc. respectivement.

Ainsi la recherche de toutes les représentations d’un nombre donné par une forme ternaire donnée, qui est adjointe à une autre forme ternaire, dépend du second problème ; et l’on peut