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ARITHMÉTIQUES.

le déterminant $=D$, soit représentée par la forme ternaire $f$ dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, en posant $x=mt+nu$, $x'=m't+n'u$, $x''=m''t+n''u$, et que la forme $F$ dont les indéterminées sont $X$, $X'$, $X''$, soit adjointe à $f$. On s’assure facilement par le calcul, ou comme conséquence du n^o 268, 2^o , que le nombre $D$ est représenté par la forme $F$, en posant $X=m'n''-m''n'$, $X'=m''n-mn''$, $X''=mn'-m'n$ ; nous dirons que cette représentation est adjointe à la représentation de la forme $\varphi$ par la forme $f$. Si les valeurs de $X$, $X'$, $X''$ n’ont pas de commun diviseur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre, et dans le cas contraire, impropre ; et nous transporterons aussi ces dénominations à la représentation de $\varphi$ par $f$.

Or la recherche de toutes les représentations du nombre $D$ par la forme $F$, s’appuie sur les considérations suivantes :

1^o . Il n’y a aucune représentation du nombre $D$ par $F$ qui ne puisse se déduire de la représentation d’une certaine forme binaire de déterminant $D$ par la forme $f$, c’est-à-dire, qui ne soit adjointe à une telle représentation.

Soit en effet $X=L$, $X'=L'$, $X''=L''$ une représentation quelconque de $D$ par $F$ ; on déterminera par le lemme précédent, les nombres $m$, $m'$, $m''$, $n$, $n'$ $n''$, tels que l’on ait $m'n''-m''n'=L$, $m''n'-mn''=L'$, $mn'-m'n=L''$ ; et alors en représentant par $\varphi =at^{2}+2btu+cu^{2}$, la forme binaire en laquelle $f$ se change par la substitution

$x=mt+nu$, ——$x'=m't+n'u$, ——$x''=m''t+n''u,$

on voit facilement que $D$ sera le déterminant de la forme $\varphi$, et que la représentation de $D$ par $F$ sera adjointe à celle de $\varphi$ par $f$.

Exemple. Soit $f=x^{2}+x'^{2}+x''^{2}$, et partant, $F=-X^{2}-X'^{2}-X''^{2}$, $D=-209$ : le nombre $-209$ sera représenté par $F$, en faisant $X=1$, $X'=8$, $X''=12$, on trouve pour les nombres $m$, $m'$, $m''$, $n$, $n'$, $n''$, les valeurs $-20$, $1$, $1$, $-12$, $0$, $1$ respectivement, et $\varphi =402t^{2}+482tu+145u^{2}.$

2^o . Si $\varphi$, $\chi$ sont des formes binaires proprement équivalentes, toute représentation de $D$ par $F$ adjointe à une représentation de $\varphi$ par $f$, sera aussi adjointe à une représentation de $\chi$ par $f$.

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