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ARITHMÉTIQUES.
le déterminant
, soit représentée par la forme ternaire
dont
les indéterminées sont
,
,
, en posant
,
,
, et que la forme
dont les indéterminées sont
,
,
, soit adjointe à
. On s’assure facilement
par le calcul, ou comme conséquence du no 268, 2o, que le
nombre
est représenté par la forme
, en posant
,
,
; nous dirons que cette représentation est adjointe à la représentation de la forme
par la
forme
. Si les valeurs de
,
,
n’ont pas de commun diviseur, nous appellerons pour abréger, cette représentation propre,
et dans le cas contraire, impropre ; et nous transporterons aussi
ces dénominations à la représentation de
par
.
Or la recherche de toutes les représentations du nombre
par
la forme
, s’appuie sur les considérations suivantes :
1o. Il n’y a aucune représentation du nombre
par
qui ne
puisse se déduire de la représentation d’une certaine forme binaire
de déterminant
par la forme
, c’est-à-dire, qui ne soit adjointe
à une telle représentation.
Soit en effet
,
,
une représentation
quelconque de
par
; on déterminera par le lemme précédent,
les nombres
,
,
,
,
, tels que l’on ait
,
,
; et alors en représentant par
, la forme binaire en laquelle
se change
par la substitution
![{\displaystyle x=mt+nu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582bab70a29d9a0d6e21d1703d1ded3e87b5eede)
,
——![{\displaystyle x'=m't+n'u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddec1125ac1063d5dd2831183c94569f5ed8151)
,
——![{\displaystyle x''=m''t+n''u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55464911ba352765b3d587780dd107080e7b36bc)
on voit facilement que
sera le déterminant de la forme
, et
que la représentation de
par
sera adjointe à celle de
par
.
Exemple. Soit
, et partant,
,
: le nombre
sera représenté par
, en faisant
,
,
, on trouve pour les
nombres
,
,
,
,
,
, les valeurs
,
,
,
,
,
respectivement, et
2o. Si
,
sont des formes binaires proprement équivalentes,
toute représentation de
par
adjointe à une représentation de
par
, sera aussi adjointe à une représentation de
par
.
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