Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/343

321

ARITHMÉTIQUES.

Ainsi toute forme ternaire de déterminant $2$ est réductible à l’une de ces trois : ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}0,&2,&0\\0,&1,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}1,&1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}-1,&-1,&-2\\0,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ ; au lieu de la première on peut prendre la forme ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}2,&0,&0\\1,&0,&0\\\end{pmatrix}}\end{array}}$. Ainsi toute forme ternaire définie de déterminant $2$ équivaudra nécessairement à la troisième $-x^{2}-y^{2}-2z^{2}$ ; toute forme indéfinie à la première ou à la seconde. Elle équivaudra à la première $2x^{2}+2yz$, si le premier, le second et le troisième coefficient sont pairs tous les trois ; car il est clair qu’une telle forme se changera en une forme semblable par une substitution quelconque, et que partant elle ne peut pas être équivalente à la seconde. Enfin elle équivaudra à la seconde $x^{2}+y^{2}-2z^{2}$, si le premier, le second et le troisième coefficient ne sont pas pairs tous les trois ; car il est visible, par une raison semblable, qu’une telle forme ne peut se changer par aucune transformation, en la forme $2x^{2}+2yz$.

On pouvait donc prévoir dans les exemples des n^os 273, 274 que la forme définie ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}19,&21,&50\\15,&28,&1\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $-1$, se réduirait à la forme $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ et la forme indéfinie ${\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}10,&26,&2\\7,&0,&4\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $2$ à $2x^{2}-2yz$ ou, ce qui revient au même, à $2x^{2}+2yz$.

278. Par une forme ternaire dont les indéterminées sont $x$, $x'$, $x''$, on peut représenter des nombres en donnant des valeurs déterminées à $x$, $x'$, $x''$, et des formes binaires par des substitutions de cette espèce : $x=mt+nu$, $x'=m't+n'u$, $z''=m''t+n''u$ ; $m$, $n$, $m'$, etc. désignant des nombres déterminés, $t$ et $u$ les indéterminées de la forme binaire. Pour présenter d’une manière complète la théorie des formes ternaires, il faudrait donner la solution des problèmes suivans.

1^o. Trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme ternaire donnée.

2^o. Trouver toutes les représentations d’une forme binaire donnée par une forme ternaire donnée.

3^o. Distinguer si deux formes ternaires données sont équivalentes ou non y et dans le premier cas, trouver toutes les transformations de l’une en l’autre.

S s