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RECHERCHES

minant. Supposons généralement que la forme $f={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}a,&a',&a''\\b,&b',&b''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ de déterminant $D$, se change en la forme équivalente $g={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}m,&m'&m''\\n,&n',&n''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ par la substitution

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ; $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$ ; $\alpha ''$, $\beta ''$, $\gamma ''$………(S)

il nous restera à déterminer $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc, de manière que $g$ soit plus simple que $f.$ Soient $F={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}A,&A',&A''\\B,&B',&B''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$, $G={\begin{array}{l}{\begin{pmatrix}M,&M',&M''\\N,&N'&N''\\\end{pmatrix}}\end{array}}$ les formes adjointes à $f$ et $g$, la forme $F$ se changera en $G$ par la substitution adjointe à $S$, et $G$ en $F$ par la substitution qui naît de la transposition de $S$. Nous ferons le nombre

$\alpha \beta '\gamma ''+\alpha '\beta ''\gamma +\alpha ''\beta \gamma '-\alpha ''\beta '\gamma -\alpha \beta ''\gamma '-\alpha '\beta \gamma ''=\pm 1=k$.

Cela posé, observons :

1^o. Que si l’on fait $\gamma =0$, $\gamma '=0$, $\alpha ''=0$, $\beta ''=0$, $\gamma ''=1$, on a

$m=a\alpha ^{2}+2b''\alpha \alpha '+a'\alpha '^{2},\quad m'=a\beta ^{2}+2b''\beta \beta '+a'\beta '^{2},\quad m''=a'',$

$n=b\beta '+b'\beta \ ;\quad n'=b\alpha '+b'\alpha ,\quad n''=a\alpha \beta +b''(\alpha \beta '+\alpha '\beta )+a'\alpha '\beta \ ;$

on aura en outre $\alpha \beta '-\alpha '\beta =\pm 1$. Il est évident par là, que la forme binaire $(a,b'',a')$ de déterminant $A''$ se change par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\alpha '$, $\beta '$ en la forme binaire $(m,n'',m')$, et qu’elle lui est même équivalente, puisque $\alpha \beta '-\alpha '\alpha \beta =\pm 1$ ; on aura donc ce qu’on peut aussi vérifier sans peine directement. Si donc la forme $(a,b'',a')$ n’est pas déjà la forme la plus simple de sa classe, on pourra déterminer $\alpha$, $\beta$, $\alpha '$, $\beta '$, de manière que $(m,n'',m')$ soit une forme plus simple ; et par la théorie des formes binaires, on sait que cette réduction peut se faire de manière que $m$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {-{\frac {4}{3}}A''}}$ si $A''$ est négatif, ou que ${\sqrt {A''}}$ si $A''$ est positif, ou enfin de manière que $m=0$ si $A''=0$. Desorte que dans tous les cas, la valeur absolue de m peut être abaissée ou au moins au-dessous jusqu’à ${\sqrt {\pm {\frac {4}{3}}A''}}$. Ainsi la forme $f$ peut se ramener à une autre, dans laquelle, s’il y a lieu, le premier coefficient soit plus petit, et dont la forme adjointe ait le même troisième coefficient que la forme $F$ adjointe à $f$. C’est en cela que consiste la première réduction.

2^o.