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ARITHMÉTIQUES.

Enfin, si $a=0$ , on a

f=a'x'^{2}+2bx'x''+a''x''^{2}+2x(b''x'+b'x''),

et en prenant $x'$ , $x''$ à volonté, mais tels que $b''x'+b'x''$ ne soit pas zéro, il est évident que l’on peut déterminer $x$ de manière que $f$ obtienne des valeurs positives et négatives ; donc $f$ est une forme indéfinie.

De même que nous avons déterminé l’espèce de la forme $f$ , d’après les nombres $aD$ et $A'$ , nous aurions pu y parvenir au moyen des nombres $aD$ et $A''$ desorte que la forme $f$ sera définie si $aD$ et $A''$ sont négatifs, et indéfinie dans tous les autres cas. On peut de même considérer les nombres $a'D$ et $A$ , ou $a'D$ et $A''$ , ou $a''D$ et $A$ , ou enfin $a''D$ et $A'$ . Il suit de là que pour une forme définie les six nombres $A$ , $A'$ , $A''$ , $aD$ , $a'D$ , $a''D$ sont négatifs ; pour une forme positive, $a$ , $a'$ , $a''$ seront positifs et $D$ négatif, et pour une forme négative, $a$ , $a'$ , $a''$ seront négatifs et $D$ positif ; ainsi, toutes les formes ternaires de déterminant donné positif peuvent se distribuer en négatives et en indéfinies, toutes les formes d’un déterminant donné négatif peuvent se distribuer en positives et en indéfinies. Enfin, il n’γ a pas de formes positives de déterminant positif, ni de formes négatives de déterminant négatif. On voit facilement, d’après cela, que la forme adjointe à une forme définie est définie et même négative, et que la forme adjointe à une forme indéfinie est indéfinie.

Puisque tous les nombres représentables par une forme ternaire donnée le sont également par toutes les formes qui lui sont équivalentes, les formes ternaires comprises dans une même classe seront toutes positives, ou toutes négatives, ou toutes indéfinies. Ainsi ces dénominations pourront être transportées aux classes elles-mêmes.

272. Nous allons démontrer que les formes ternaires d’un déterminant donné peuvent se distribuer en un nombre fini de classes, et nous nous y prendrons comme pour les formes binaires, c’est-à-dire, que nous ferons voir d’abord comment une forme ternaire donnée peut être ramenée à une forme ternaire plus simple, et ensuite que le nombre des formes les plus simples auxquelles on parvient par ces réductions est toujours fini, quel que soit le déter-