4o . On prouve absolument de la même manière, que la forme se change, par la substitution
en la forme en laquelle se change , en multipliant les différens coefficiens par ; nous désignerons cette forme par .
Nous dirons que la substitution naît, par transposition, de la substitution alors il est évident que la substitution résulte de la transposition de la substitution de même et naissent de leur transposition réciproque. On peut appeler la substitution substitution adjointe à d’où la substitution sera adjointe à la substitution
269. S’il arrive, non-seulement que la forme renferme la forme , mais encore que la forme renferme la forme , ces deux formes seront dites équivalentes, et dans ce cas on voit que et devant se diviser mutuellement, on a nécessairement ; et réciproquement si une forme en renferme une autre de même déterminant, ces deux formes seront équivalentes ; en effet on aura , et partant la forme en laquelle se change par la substitution , sera identique avec , et parconséquent sera contenue dans . Or il est clair que dans ce cas les formes et adjointes aux formes et seront aussi équivalentes, et que la deuxième se change en la première par la substitution . Enfin, si l’on suppose que les formes , soient équivalentes, et que la première se change en la deuxième par la substitution , les formes et seront aussi équivalentes, et se changera en par la substitution adjointe à , et en par la substitution qui naît de la transposition de la substitution adjointe à . Car par ces deux substitutions respectives, la forme adjointe à se change en la forme adjointe à , et la forme en cette même première forme ; mais ces deux formes naissent de et , en multipliant chacun de leurs coefficiens par ; d’où l’on voit sans peine que par les mêmes substitutions se change en et en respectivement.
270. Si la forme ternaire renferme la forme ternaire et celle-ci la forme , la forme renfermera aussi . Car on voit
