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ARITHMÉTIQUES.

1^o . En désignant, pour abréger, par $k$ le nombre

$\alpha \beta '\gamma ''+\beta \gamma '\alpha ''+\gamma \alpha '\beta ''-\gamma \beta '\alpha ''-\alpha \gamma '\beta ''-\beta \alpha '\gamma '',$

on trouve, réduction faite, $E=k^{2}D$ ; d’où il suit que $D$ doit diviser $E$ et que le quotient doit être un quarré. L’on voit ainsi que le nombre $k$ joue ici le même rôle que le nombre $\alpha \delta -\beta \gamma$ pour les formes binaires, d’où nous pourrions présumer que le signe de $k$ établit aussi une différence essentielle entre les transformations propres et impropres. Mais en examinant la chose de plus près, il est clair que $f$ se change aussi en g par la substitution

$-\alpha ,\ -\beta ,\ -\gamma \ ;\quad -\alpha ',\ -\beta ',\ -\gamma '\ ;\quad -\alpha '',\ -\beta '',\ -\gamma '',$

et que $k$ devient alors $-k$, et que parconséquent cette substitution serait différente, et que toute forme ternaire en renfermerait une autre tant proprement qu’improprement. Ainsi nous ne ferons pas usage de cette distinction, qui devient inutile pour les formes ternaires.

2^o . En désignant par $F$ et $G$ les formes adjointes aux formes $f$, $g$, les coefficiens de $F$ se déterminent par les coefficiens de $f$, et les coefficiens de $G$ par ceux de $g$, qui se connaissent eux-mêmes par les équations que fournit la substitution $S$. Or la comparaison des coefficiens de $F$ et $G$ prouve sans peine que $F$ renferme $G$ et se change en elle par la substitution

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$,	—$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$,—	$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$ ;
$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$,	—$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$,—	$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$ ;
$\beta \gamma '-\beta '\gamma$,	—$\gamma \alpha '-\gamma '\alpha$,—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$ ; ……$(S^{\prime }).$

Nous n’inscrivons pas ici le calcul, qui n’est sujet à aucunes difficultés.

3^o . La forme $g$, par la substitution :

$\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '$,	—$\beta ''\gamma -\beta \gamma ''$,—	$\beta \gamma '-\beta '\gamma$ ;
$\gamma '\alpha ''-\gamma ''\alpha '$,	—$\gamma ''\alpha -\gamma \alpha ''$,—	$\gamma \alpha '-\gamma '\alpha ''$ ;
$\alpha '\beta ''-\alpha ''\beta '$,	—$\alpha ''\beta -\alpha \beta ''$,—	$\alpha \beta '-\alpha '\beta$ ; ……$(S^{\prime \prime }),$

se change évidemment en la même forme que celle en laquelle se change $f$ par la substitution

$k,\ 0,\ 0\ ;\quad \ 0,\ k,\ 0\ ;\quad \ 0,\ 0,\ k,$

c’est-à-dire en celle qu’on obtient en multipliant tous les coefficiens de la forme $f$ par $k^{2}$. Nous désignerons cette forme par $f'$.

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