11o . Si un nombre premier quelconque est résidu d’un nombre premier de la forme , sera résidu de ; en effet, si est de la forme , il suit de la proposition 8 que , et partant, par la deuxième, ; mais le cas où est de la forme se soustrait à cette méthode ; cependant on peut facilement le traiter, par la considération du déterminant ; car, des quatre caractères assignables pour ce déterminant : , ; , ; , ; , , il n’y en a que deux qui appartiennent à des genres, et les formes , ayant pour caractères, la première la seconde les deux autres n’appartiennent à aucun genre. Ainsi, comme le caractère de la forme est par hypothèse le caractère de la même forme, à l’égard du nombre doit être et partant
Si l’on suppose, dans la huitième et la neuvième proposition, que désigne un nombre premier, et qu’on les réunisse à la dixième et à la onzième, on aura la démonstration complète du théorème fondamental de la section précédente.
263. Après avoir confirmé le théorème fondamental par une nouvelle démonstration, nous allons nous occuper de distinguer cette moitié des caractères, auxquels nous avons vu qu’il ne répond aucunes formes proprement primitives positives pour un déterminant quelconque non-quarré. Nous y parviendrons d’autant plus facilement que les élémens de cette discussion sont déjà renfermés dans les recherches des nos 147-150. Soit le plus grand quarré qui puisse diviser le déterminant proposé et desorte que ne renferme aucun facteur quarré. Soient encore etc. tous les diviseurs premiers impairs de sera, abstraction faite du signe, le produit de ces diviseurs, ou le double de ce produit. Désignons par l’ensemble des caractères particuliers etc., seul quand et en y joignant le caractère quand et que est impair ou impairement pair ; ou en y joignant les caractères et quand et que est pairement pair ; en y joignant le caractère et ou les deux et quand et que est impair ou pair, ou les deux et quand et que est pair ou impair. Cela posé, il ne
