; donc par le no précédent le nombre de toutes les classes proprement primitives qui peuvent résulter de la duplication de classes semblables est ; mais (no 247) toutes ces classes appartiennent au genre principal qui contient un nombre de classes ; si donc toutes les classes du genre principal peuvent provenir de la duplication de quelque classe, ce que nous prouverons par la suite, on aurait ou . Mais il est certain que l’on ne peut avoir ni parconséquent . Ainsi, puisque le nombre des genres proprement primitifs ne peut être plus grand que la moitié du nombre des caractères assignables, il y a au moins la moitié de ces derniers qui ne répondent à aucun genre. Au reste, il faut bien remarquer qu’il ne suit pas encore de là, que les genres proprement primitifs répondent en effet à la moitié de ces caractères ; mais nous pourrons, plus bas, tirer cette vérité des propriétés les plus abstraites des nombres.
Comme pour un déterminant négatif, il y a autant de genres négatifs que de positifs, il est clair qu’il n’y a pas plus de la moitié de tous les caractères assignables qui puissent appartenir à des genres proprement primitifs négatifs, nous reviendrons plus bas sur ce sujet, ainsi que sur les genres improprement primitifs. Nous finirons en observant que le théorème n’est pas applicable aux déterminans positifs quarrés, pour lesquels on peut voir sans peine que chaque caractère répond effectivement à un genre.
262. Ainsi, lorsque pour un déterminant donné, non quarré, il ne peut y avoir que deux caractères, il n’y a qu’un genre proprement primitif ( positif ), qui est nécessairement le genre principal. Cela arrive pour les déterminans les nombres premiers de la forme et les nombres premiers de la forme pris négativement, enfin pour toutes les puissances impaires de nombres premiers de la forme prises positivement et pour toutes les puissances des nombres premiers de la forme prises positivement ou négativement, suivant que les exposans sont pairs ou impairs. Nous pouvons déduire de là une nouvelle démonstration,
