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ARITHMÉTIQUES.

identiques ni opposées, excepté dans le cas où $C-B=0$, ce qui donne $C=B$ et exige que l’un et l’autre soit $\pm 1$, et partant que $D=-1$ ; or nous avons déjà écarté ce cas-là : il suit de là que le nombre total des classes ambiguës proprement primitives de déterminant $D$ (négatif) est égal au nombre de formes de $W$, ou à la moitié du nombre de formes du n^o précédent. Quant au cas que nous avons excepté, dans lequel $D=-1$, on a aussi le même résultat par compensation ; car il y a deux classes, à la première desquelles appartiennent les formes $(1,0,1)$, $(2,1,1)$, et à la seconde les formes $(-1,0,-1)$, $(-2,-1,-1)$. Ainsi généralement pour les déterminans négatifs, le nombre de classes ambiguës proprement primitives est égal au nombre de caractères assignables pour les formes proprement primitives de ce déterminant, et le nombre de ces classes qui sont positives en est la moitié.

2^o . Quand $D$ est un nombre positif quarré $h^{2}$, on démontre facilement que toutes les formes appartiennent à des classes différentes. Mais on peut, dans ce cas, parvenir plus simplement à la. solution du problème. Comme, par le n^o 210, dans toute classe ambiguë proprement primitive on doit trouver une forme réduite $(a,h,0)$, dans laquelle $a$ est une valeur de l’expression ${\sqrt {1}}{\pmod {2h}}$, comprise entre $0$ et $2h-1$, et que cette propriété leur est particulière, on voit qu’il y aura autant de classes ambiguës proprement primitives, qu’on peut trouver de valeurs de cette expression ; or on déduit sans peine, du n^o 105, que le nombre de ces valeurs est $2^{n}$, ou $2^{n+1}$, ou $2^{n+2}$, suivant qu’on aura $D\equiv 1$, ou $\equiv 4$, ou $\equiv 0{\pmod {8}}$, $n$ désignant le nombre des diviseurs premiers impairs de $D$. Donc le nombre de classes ambiguës proprement primitives est toujours égal à la moitié des formes du n^o précédent, ou au nombre de caractères possibles.

3^o . Quand $D$ est positif non quarré ; déduisons des formes $(A,B,C)$ contenues dans $W$, d’autres formes $(A,B',C')$ en prenant $B'\equiv B{\pmod {A}}$ et compris entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp A$ (le signe supérieur ayant lieu quand $A$ est positif, le signe inférieur quand $A$ est négatif), et $C'={\frac {B'^{2}-D}{A}}$. Désignons par $W'$ l’ensemble de toutes ces formes ; elles seront évidemment toutes pro-

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