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ARITHMÉTIQUES
Nous omettons les démonstrations à cause de leur facilité ; d’ailleurs on sait par les élémens comment on résout ces problèmes,
quand les nombres
ne sont point donnés tout décomposés en facteurs.
19. Si les nombres
sont premiers avec
leur produit l’est aussi.
En effet, puisqu’aucun des nombres
n’a de facteurs premiers communs avec
et que le produit de ces nombres
ne peut avoir de facteurs premiers qui n’appartiennent à quelqu’un
d’entr’eux, ce produit n’aura non plus aucun facteur premier commun
avec
Si les nombres
sont premiers entr’eux, et que
soit divisible par chacun d’eux, il le sera aussi par leur produit.
C’est une suite des nos 17 et 18. Soit en effet
un diviseur premier
quelconque du produit
et qu’il ait l’exposant
quelqu’un
des nombres
sera divisible par
parconséquent
qui est divisible par ce nombre, le sera aussi par
il en sera de
même des autres diviseurs du produit.
Donc, si deux nombres
sont congrus suivant plusieurs modules
premiers entr’eux, ils le seront aussi suivant leur produit. En effet, puisque
est divisible par chacun des nombres
il le sera aussi par leur produit.
Enfin, si
est premier avec
et que
soit divisible par
sera aussi divisible par
En effet, puisque
est divisible par
et par
il le sera par leur produit ; donc
sera un entier.
20. Quand
(
étant des nombres premiers inégaux), est une puissance parfaite, par exemple, quand
tous les exposans
etc. sont divisibles par
En effet, le nombre
n’est pas divisible par d’autres nombres
premiers que
soit
l’exposant de
dans
dans
ce
sera
donc
et
est un entier. On démontrera de même
que
sont des nombres entiers.
21. Quand
etc. sont premiers entr’eux, et que le produit
B