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ARITHMÉTIQUES

Nous omettons les démonstrations à cause de leur facilité ; d’ailleurs on sait par les élémens comment on résout ces problèmes, quand les nombres $A,\ B,\ C,\ {\text{etc}}.$ ne sont point donnés tout décomposés en facteurs.

19. Si les nombres $\mathrm {a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.}$ sont premiers avec $\mathrm {k} ,$ leur produit l’est aussi.

En effet, puisqu’aucun des nombres $\mathrm {a,\ b,\ c,{\text{etc}}.}$ n’a de facteurs premiers communs avec $k,$ et que le produit de ces nombres ne peut avoir de facteurs premiers qui n’appartiennent à quelqu’un d’entr’eux, ce produit n’aura non plus aucun facteur premier commun avec $k.$

Si les nombres $\mathrm {a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.}$ sont premiers entr’eux, et que $\mathrm {k}$ soit divisible par chacun d’eux, il le sera aussi par leur produit.

C’est une suite des n^os 17 et 18. Soit en effet $p$ un diviseur premier quelconque du produit $abc\ etc.$ et qu’il ait l’exposant $\pi ,$ quelqu’un des nombres $a,\ b,\ c,\ etc.$ sera divisible par $p^{\pi },$ parconséquent $k,$ qui est divisible par ce nombre, le sera aussi par $p^{\pi }:$ il en sera de même des autres diviseurs du produit.

Donc, si deux nombres $\mathrm {m,\ n}$ sont congrus suivant plusieurs modules $\mathrm {a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.}$ premiers entr’eux, ils le seront aussi suivant leur produit. En effet, puisque $m-n$ est divisible par chacun des nombres $a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.,$ il le sera aussi par leur produit.

Enfin, si $\mathrm {a}$ est premier avec $\mathrm {b} ,$ et que $\mathrm {ak}$ soit divisible par $\mathrm {b,\,k}$ sera aussi divisible par $\mathrm {b} .$ En effet, puisque $ak$ est divisible par $a$ et par $b,$ il le sera par leur produit ; donc ${\frac {ak}{ab}}={\frac {k}{b}}$ sera un entier.

20. Quand $\mathrm {A=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ {\text{etc}}.}$ ($\mathrm {a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.}$ étant des nombres premiers inégaux), est une puissance parfaite, par exemple, quand $\mathrm {A=k^{n},}$ tous les exposans $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,$ etc. sont divisibles par $\mathrm {n.}$

En effet, le nombre $k$ n’est pas divisible par d’autres nombres premiers que $a,\ b,\ c,\ {\text{etc}}.\ ;$ soit $\alpha ^{\prime }$ l’exposant de $a$ dans $k^{n},$ dans $k^{n}$ ce sera $n\alpha ^{\prime }\ ;$ donc $n\alpha ^{\prime }=\alpha$ et ${\frac {\alpha }{n}}$ est un entier. On démontrera de même que ${\frac {\beta }{n}},\ {\frac {\delta }{n}}\ {\text{etc}}.$ sont des nombres entiers.

21. Quand $\mathrm {a,\ b,\ c,}$ etc. sont premiers entr’eux, et que le produit

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