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ARITHMÉTIQUES.
classes proprement primitives positives aux nombres de classes
de l’ordre .
Exemple. Soit , et l’ordre positif dérivé de l’ordre
improprement primitif de déterminant , dans lequel la forme
la plus simple est . On a , , , , . contiendra la forme ; les formes , ; les formes , , ;
enfin contiendra les formes , , ,
, , . De ces douze formes il y
en a six à rejeter, la deuxième et la troisième de , la première, la troisième, la quatrième et la sixième de , qui sont
toutes des formes dérivées ; on trouve que les six autres appartiennent à des classes différentes ; en effet, le nombre des classes
proprement primitives (positives) de déterminant est ,
et le nombre des classes improprement primitives positives de déterminant , ou le nombre des classes de déterminant
dérivées de celles-ci est , partant le premier est au second comme
est à .
256. Cette solution sera mieux éclaircie par les observations
générales suivantes :
I. Si l’ordre est dérivé de l’ordre proprement primitif,
divisera ; mais si est dérivé de l’ordre improprement primitif ou improprement primitif lui-même, sera pair, sera divisible par et le quotient . Donc le quarré de
tout diviseur de divisera ou au moins , et dans le second
cas, le quotient sera toujours .
II. Si divise , toutes les valeurs de l’expression qui tombent entre et seront , , , etc.
, et partant sera le nombre des formes de ; mais parmi
elles il n’y en aura de primitives qu’autant qu’il y a de nombres
premiers avec dans les suivans : , , , ……. Ainsi quand , n’aura qu’une forme ,
qui sera toujours proprement primitive. Quand ou une
puissance de , la moitié de ces nombres seront pairs, l’autre
N n