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ARITHMÉTIQUES.

251. Problème. Étant proposées deux formes $\mathrm {F} ,$ $\mathrm {f}$ de même déterminant $\mathrm {D}$ et qui appartiennent au même ordre $\mathrm {O} ,$ trouver une forme proprement primitive de déterminant $\mathrm {D} ,$ telle que la résultante de cette forme et de $\mathrm {f}$ soit $\mathrm {F} .$

Soit $\varphi$ la forme la plus simple de l’ordre $O$, $F'$ et $f'$ des formes proprement primitives de déterminant $D$, qui, composées avec $\varphi$, donnent $F$ et $f$ respectivement, $f''$ une forme proprement primitive, qui, composée avec $f'$ donne $F'$, alors $F$ sera composée de trois formes $\varphi$, $f$, $f''$ ou des deux $f$, $f''$.

Ainsi toute classe d’un ordre donné peut être considérée comme composée d’une classe quelconque donnée de même ordre et d’une classe proprement primitive de même déterminant.

252. Théorème. Pour un déterminant donné, les différents genres d’un même ordre contiennent un même nombre de classes.

Supposons que les genres $G$, $H$ appartiennent au même ordre, que $G$ soit composé de $n$ classes $K$, $K'$, $K''$, etc. $K^{n-1}$, et soit $L$ une classe quelconque du genre $H$ ; cherchons par le n^o précédent une classe proprement primitive $M$ de même déterminant, qui, composée avec $K$, produise $L$, et désignons par $L'$, $L''$, etc. les classes résultantes de la composition de la classe $M$ avec les classes $K'$, $K''$, $K'''$,… $K^{n-1}$ respectivement. Alors de la dernière observation du n^o 249, il suit que toutes les classes $L$, $L'$ $L''$, etc. $L^{n-1}$ sont différentes, et par le n^o 248 elles appartiendront toutes au même genre. Enfin, il est visible que $H$ ne peut contenir d’autres classes, puisque toute classe de $H$ peut être considérée comme résultante de $M$ et d’une autre classe de même déterminant, qui sera nécessairement du genre $G$. Ainsi $H$ contient, comme $G$, $n$ classes différentes.

253. Le théorème précédent suppose identité d’ordre, et ne doit pas s’étendre à des ordres différents. Ainsi, par exemple, pour le déterminant $-171$, il y a vingt classes positives qui se distribuent en quatre ordres ; dans l’ordre proprement primitif il y a deux genres, dont chacun contient six classes ; dans l’ordre improprement primitif il y a deux genres composés chacun de deux classes. L’ordre dérivé de l’ordre proprement primitif de déterminant $-19$ ne contient qu’un genre composé de quatre classes ; enfin l’ordre